La structuration des milieux

C'est cependant la définition initiale de  système antagoniste  et de ses prolongements qui serviront de point de départ à la définition du concept Margolinas1995,Margolinas1998, Margolinas1998b, Bloch1999, Bloch2002, Houdement2004, Dias2008, Exprime2010b. Très vite, il apparaît que le milieu possède une structure et cette structuration du milieu, proposé dans un premier temps par Brousseau1986b et analysé, complété par d'autres recherches, en particulier celles de Margolinas2004 permet de décrire finement les interactions.

La précision de la description des milieux passe à la fois par une description didactique rigoureuse et des fondements épistémologiques concernant à la fois les apprentissages et les objets mathématiques en jeu.

Revenons dans un premier temps sur la notion de structuration du milieu que [page 81]Margolinas2004 représente par le tableau structuremilieux.


Tableau: Tableau de description de la structuration des milieux
Niveau E P Situation Milieux
M+3 M-Construction
 
P-noosphérien
S+3 : Situation noosphérienne
#1464#> \rotatebox{90}{<}<1464>>Niveaux Sur-didactiques
M+2 : M-projet
 
P-constructeur
S+2 : Situation de construction
M+1 : M-Didactique
E+1: E-réflexif
P+1 : P-projeteur
S+1 : Situation de projet
M0 : M-Apprentissage
E0 : Elève
P0 : Professeur
S0 : Situation didactique
M-1 : M-Référence
E-1 : E-apprenant
P-1 : P-Observateur
S-1 : Situation d'apprentissage
#1467#> \rotatebox{90}{<}<1467>>Niveaux Sous-didactiques
M-2 : M-Objectif
E-2 : E-agissant
 
S-2 : Situation de référence
M-3 : M-Matériel
E-3 : E-objectif
 
S-3 : Situation objective


Ce tableau se lit en considérant : $M_n=S_{n-1}=\{M_{n-1},E_{n-1},P_{n-1}\}$, la situation $S$ étant constituée des rapports existants entre $M,E$ et $P$ ; les niveaux positifs étant les situations sur-didactiques, prenant en compte le travail du professeur dans des phases de préparation, et les niveaux strictement négatifs étant les niveaux sous-didactiques, prenant en compte l'activité de l'élève dans des phases d'action.

En lisant ce tableau à partir du bas, c'est-à-dire en considérant dans une situation sous-didactique la situation objective, les acteurs objectifs sont confrontés à un ensemble d'objets suffisamment familiers pour pouvoir les manipuler. Il peut s'agir d'objets matériels, le carton et les morceaux du puzzle de Brousseau, par exemple mais aussi un artefact ; ces objets, en soi ne réagissent pas mais sont des éléments de la situation objective qui n'est pas finalisée [page 85]Margolinas2004 ; leurs rétroactions n'ont de sens que si les sujets possèdent les connaissances objectives suffisantes à la manipulation de ces objets. J'illustre en creux cette position dans une situation objective par l'exemple de l'utilisation d'un système de calcul formel dans une classe de terminale en reprenant l'idée fort répandue et qui consiste à dire que  tout le monde est capable de faire un problème du baccalauréat avec un système de calcul formel (SCF) . Imaginons un instant la situation objective d'un élève ou d'un groupe d'élèves de première disposant d'un tel système et d'un énoncé du baccalauréat. Les connaissances en jeu n'étant pas présentes dans leur milieu matériel, les rétroactions de ce milieu, quand bien même les élèves connaîtraient le fonctionnement du SCF, ne pourront avoir aucun sens quant à la résolution du problème. Les connaissances associées à une situation objective doivent être suffisantes pour permettre d'une part la dévolution du problème et d'autre part la compréhension même de la situation.

Il est à noter qu'il n'est en aucun cas nécessaire pour un milieu matériel de compter effectivement des objets matériels, qui peuvent selon les cas être évoqués ou absents ; prenons l'exemple des exercices classiques de combinatoire dans lesquels les modèles d'urnes sont présents (soit une urne contenant des boules rouges et blanches...). Dans ce cas, cette urne peut faire référence à un véritable objet matériel et à une expérience physique ou n'être qu'une métaphore supportant le raisonnement ou même un modèle d'une situation de probabilité support d'une expérience de pensée.

La situation de niveau -3 constitue le milieu de la situation de référence, de niveau -2. Les connaissances stables, équilibrées pour reprendre le vocabulaire de Piaget, constituent le milieu de la situation de référence. Il s'agit de la situation dans laquelle E-agissant organise ses essais et interprète les rétroactions du milieu pour réorganiser son action dans un va-et-vient essais-erreurs. Les justifications produites sont empiriques et il n'y a pas création de nouvelles connaissances, mais une réorganisation des connaissances liées à la situation particulière. La situation de référence est le lieu des expériences au sens où les connaissances naturalisées sont mises en rapport avec le problème traité. Le passage de la situation objective à la situation de référence ne va pas de soi et peut dénoter une dévolution de la situation mais aussi une réorganisation de la situation par les élèves en contradiction avec les intentions du professeur. L'exemple suivant issu d'une observation faite dans le travail de l'équipe Exprime20102.13 illustre bien cette position des élèves ; le problème proposé par l'enseignant d'une classe de première S était de décomposer 1 en somme de fractions égyptiennes2.14. La première question était posée de la manière suivante :

Peut-on trouver deux nombres naturels $a$ et $b$ distincts tels que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ ?

Ce dialogue se passe au tout début du travail. Le professeur vient de donner l'énoncé, les élèves travaillent en groupe de quatre (Cé, Ca, JC, S) ; ce type de travail en groupe de recherche de problème est suffisamment habituel dans la classe pour que le professeur n'ait pas à expliquer longuement le fonctionnement de la séance :

Dans ce court extrait, pour ces élèves et dans cette situation, le milieu matériel est composé de l'énoncé, de leurs connaissances d'élèves de première S, en particulier les connaissances algébriques, leur dextérité plus ou moins grande à écrire des expressions algébriques équivalentes, leurs connaissances sur les nombres, leurs ressources communes2.15 et les calculatrices considérées comme importantes dans le contexte de la classe de mathématiques puisque posées sur la table dès le début de la leçon sans demande particulière du professeur. Très rapidement les élèves commencent des opérations algébriques sur les expressions à disposition dans l'énoncé. En l'occurrence, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ ; JC s'intéresse au premier membre et S à l'identité toute entière. Dans la situation S-2, le milieu qu'ils investissent est la relation qu'ils ont avec les calculs algébriques. L'un comme l'autre pourrait arriver au résultat escompté, mais leur propre milieu objectif n'est pas suffisamment construit pour renvoyer des rétroactions directement interprétables.

  Silence ; quatre calculatrices sont posées sur la table. Tous écrivent ${1\over a}+{1\over b}$. JC calcule : ${1 \over a}={b-1 \over b}$ et S calcule : ${b+a-ab \over ab}$

1-Cé :
C'est le machin du DM...
2-Ca :
Comment tu fais le rapport ? Qu'est ce que tu fais ?
3-JC :
Je sais pas, je teste ; tu dois trouver quelque chose...  il effectue un calcul sur les lettres $a$ et $b$
4-Ca :
${ab-a-b \over ab}$ Un carré... il manque un 2...
5-Cé :
Les entiers naturels, ils peuvent être négatifs ?
6-JC :
Ch'sais pas ; ben oui !
7-Ca :
C'est les relatifs qui sont positifs ? J'interviens pour remettre un peu d'ordre dans les ensembles !
8-Cé :
$a$ est forcément plus petit que $b$. Si on trouve ça il montre du doigt la première question, après c'est la même technique... Le DM, y a pas quelqu'un qui l'a ?
9-JC :
Oui, je l'ai
10-S :
qui a calculé en silence sur les lettres $a$ et $b$... ça ressemble...
11-JC :
fouille un classeur Je l'ai !
12-S :
Et si c'était ça ?
13-JC :
qui a continué à calculer $b-a=ab$
14-S :
C'est plutôt $b-a=$...
15-JC :
Ah non !
16-A :
Tu fais le truc égyptien ?
17-Cé :
Non, ça marche pas.
18-JC :
$b-a=ab$, réfléchissons... Non, c'est $b+a=ab$, ça veut dire $-b-a=-ab$
19-S :
T'es bien avancé...
20-JC :
Donc, euh, donc...
21-Cé :
C'est des questions comme ça qu'on aura au contrôle ? Rires
22-JC :
il a continué des calculs et obtient $a={b\over b-1}$ et $b={a \over a-1}$ ; il se lance alors dans un calcul en remplaçant $a$ par sa valeur dans la deuxième expression
23-S :
Tu fais quoi ?
24-JC :
Je sais pas.
25-S :
C'est pas possible, on peut pas trouver...
26-Cé :
Facile
27-A :
Regarde les calculs de S Mais comment tu fais pour passer... il montre sur le brouillon
28-S :
Oui, y a une erreur.
29-Cé :
Si ton truc est juste...
30-JC :
Si ma supposition marche, tu peux mettre au carré... j'sais pas si c'est possible.
31-S :
Attends, je vais faire avec des nombres !

En essayant de poursuivre le raisonnement de JC, on pourrait dire :

${1 \over a}={b-1 \over b}$ donc $a={b\over b-1}$, or $b$ et $b-1$ sont premiers entre eux puisque $b+(-1)\times(b-1)=1$ est une relation de Bezout et donc $b-1$ ne peut diviser $b$ que si $b=2$ mais alors dans ce cas, $a=2$ ce qui est contraire à l'hypothèse.

Les éléments utilisés pour poursuivre le raisonnement ne font pas partie du milieu matériel d'un élève de première, ce qui explique le raisonnement en boucle de la ligne 22.

Le raisonnement entamé par S est plus délicat, puisque, implicitement elle part de l'égalité dont elle cherche la valeur de vérité (Existe t'il ...). Elle fait l'analogie avec les équations déjà rencontrées mais elle n'écrit pas l'égalité. On peut considérer son abandon comme une rétroaction du milieu objectif, c'est-à-dire de ses connaissances algébriques. Pour poursuivre son raisonnement, en effet, il aurait fallu :

${b+a-ab \over ab}=0$ ; puisque les deux nombres $a$ et $b$ sont distincts on peut supposer $a<b$ et donc $\exists n>0/ b=a+n$

Il y a donc équivalence avec $2a+n=a^2+an$ équation du second degré en $a$ dont le discriminant vaut $(n-2)^2+4n=n^2+4$ qui est strictement positif. L'équation possède donc deux solutions dans R :


\begin{displaymath}\frac{2-n-\sqrt{n^2+4}}{2} \mbox{ et } \frac{2-n+\sqrt{n^2+4}}{2}\end{displaymath}

La première est strictement négative ( $n \to \frac{2-n-\sqrt{n^2+4}}{2}$ est décroissante et sa limite en $0^+$ est 0.)

La seconde est strictement positive ( $n \to \frac{2-n+\sqrt{n^2+4}}{2}$ est encore décroissante et ses limites en $0^+$ est 2 et en $+\infty$ est 1).

L'équation du second degré n'aura une solution entière si et seulement si $n^2+4$ est un carré d'un entier positif : $k^2$. Ce qui ne peut être réalisé que lorsque $k^2-n^2=(k-n)(k+n)=4$ et donc si et seulement si $k-n$ et $k+n$ sont tous les deux des diviseurs de 4, c'est-à-dire 1, 2 ou 4 ; ce dont on se convaincra assez vite que ce n'est pas possible avec les hypothèses.

Là encore, le milieu matériel de S ne lui permet pas de poursuivre les expériences avec les symboles algébriques. Le milieu objectif qui a été mobilisé par les élèves dans cette première approche ne repose pas sur un milieu matériel suffisamment stabilisé pour pouvoir dépasser le stade d'expériences circulaires (cf. lignes 13 à 19) ; la dernière proposition rompt avec ce milieu pour investir un autre domaine de connaissance et de représentation2.16. Dans cette situation, le professeur est un observateur des interactions de E-agissant et M-3. Ces observations sont bien sûr fondamentales pour une phase de conclusion, puis d'institutionnalisation.

La situation d'apprentissage, S-1, est la situation d'argumentation, de recherche de pertinence et de mise en relation du savoir et des résultats des expériences menées. C'est le lieu où les connaissances peuvent se trouver en conflit. Le milieu de cette situation, est donc constitué des relations entre expériences réalisées, leurs résultats et l'E-apprenant. C'est aussi la situation où le professeur interagit avec les élèves dans une position d'observation ; il prend des informations sur les interactions des élèves avec le milieu objectif qui s'est mis en place et qu'il a éventuellement modifié dans sa position d'organisateur de la situation objective. C'est le lieu de recueil d'informations permettant de préparer la mise en \oeuvre de la situation didactique, et à plus long terme de choisir des éléments qui permettront de mener une phase de conclusion (dans la séance, vous avez...) et d'institutionnalisation en mettant en rapport les connaissances visibles de la situation d'apprentissage et le savoir en jeu.

Les trois situations S-1, S-2 et S-3 constituent ce que Margolinas2004 appelle les situations sous-didactiques ; la distinction qui est faite entre situation a-didactique et sous-didactique est importante et à la base du concept de bifurcation didactique. Pour [page297]Brousseau1986z :

La conception moderne de l'enseignement va donc demander au maître de provoquer chez l'élève les adaptations souhaitées, par un choix judicieux, des problèmes   qu'il lui propose. Ces problèmes, choisis pour que l'élève puisse les accepter doivent le faire agir, parler, réfléchir, évoluer de son propre mouvement. Entre le moment où l'élève accepte le problème comme sien et celui où il produit sa réponse, le maître se refuse à intervenir comme proposeur de connaissances qu'il veut voir apparaître.[...] Une telle situation est appelée situation a-didactique.

L'hypothèse forte de Brousseau est alors qu'il est possible d'établir une bijection entre les connaissances mathématiques et les situations fondamentales. Les situations a-didactiques sont construites comme devant faire émerger un savoir. La question est alors de savoir si cette définition est compatible avec la classe ordinaire telle que je l'ai définie au début de ce chapitre (page [*]). En particulier, il s'agit de savoir si les intentions du professeur rencontrent les apprentissages effectifs des élèves.

[page 98]Margolinas2004  appelle situation a-didactique l'image d'une situation non didactique fondamentale d'un savoir non encore institué . C'est en effet pour marquer cette différence potentielle entre les intentions didactiques, le savoir visé et le véritable savoir en jeu dans les situations proposées. C'est à ce propos que Margolinas définit les situations nildidactiques, situations qui  ne mettent en jeu que deux niveaux de la structuration du milieu : le niveau -3, dans lequel l'interaction avec le milieu n'implique que des connaissances naturalisées, le niveau -2 dans lequel l'interaction avec le milieu n'implique que des connaissances stables, réactualisées par la situation  [page 99]Margolinas2004. L'extrait d'observation page [*] en est un excellent exemple. Les quatre élèves font fonctionner des savoirs presque stabilisés ou en tout cas perçus comme tels, suffisamment pour que la tâche envisagée paraisse légitime dans le contrat du moment.

La situation didactique, S0 est la situation dans laquelle les intentions d'enseignement du professeur rencontrent les apprentissages des élèves. Lieu et temps de réactualisation du contrat didactique, la situation didactique conduit à une institutionnalisation des connaissances mais aussi des stratégies mises en \oeuvre qui prennent alors un statut collectif au sein de la classe et qui alimente de ce fait la mémoire didactique.

Dans la théorie des situations didactiques, l'enseignement est considéré comme  la dévolution par le professeur d'une situation d'apprentissage   [page 314]Brousseau1986z. Cette dévolution est alors modélisée comme la négociation d'un contrat et devient un élément fondamental du jeu que le professeur veut faire jouer au sous-système élève-milieux, avec les différents niveaux décrits ci-dessus. Le processus d'institutionnalisation nécessaire permet au maître de replacer les connaissances contextualisées dans l'édifice du savoir dont le maître est le garant.

La modélisation des situations comme un jeu permet d'insister sur les positions relatives des acteurs dans ces différents processus. Les décisions, les actions dans le jeu sont réglées par les rôles que chacun y joue, ou veut bien y jouer. Il est à noter qu'à la différence des serious game Goncalvez2009,Sanchez2010 la dimension ludique n'est pas évoquée et que le terme de jeu est utilisé d'une part dans le modèle qu'il procure pour caractériser les relations entre les acteurs et l'organisation de cette activité, mais aussi pour préciser les éléments et les instruments du jeu et les stratégies mises en \oeuvre.

Margolinas2004 insiste sur la nécessité de définir et de modéliser les positions des acteurs dans la structuration des milieux au delà de la situation didactique. Cette structuration permet de prendre en compte le travail du professeur dans des phases d'étude et de préparation.

Par symétrie, les niveaux S+1, S+2 et S+3 peuvent être décrits en  descendant  la lecture du tableau [*] page [*]. La situation noosphérienne, S+3, tout comme la situation S-3 n'est pas finalisée. Il s'agit d'une situation du professeur intégré dans un réseau social et partie d'une institution scolaire. Dans une situation noosphérienne, le P-noosphérien s'appuie sur ses connaissances propres, ses conceptions de l'enseignement et sa vision des élèves pour imaginer dans le milieu de construction les situations pour l'élève. L'articulation entre les savoirs et les jeux problématisés repose sur des analyses mathématiques et épistémologiques du savoir et débouche sur la conception de situations, comme transformation du savoir en problème pour des sujets épistémiques.

La situation S+2 est la situation de construction effective dans laquelle le professeur va construire la situation pour des élèves génériques en s'appuyant sur des analyses de l'existant : progression, travail déjà réalisé, choix des variables didactiques, éléments du milieu matériel. Ces choix s'appuient sur les ressources des professeurs, dont je reparlerai page [*].

La situation de projet (S+1) prend en compte les vrais élèves en intégrant les composantes des niveaux supérieurs, les intentions quant au savoir en jeu (niveau S+2) et les conceptions de l'enseignement (niveau S+3) mais aussi la mémoire des situations déjà rencontrées. Dans la situation S+1, la position de l'élève est modélisée comme un acteur réfléchissant à son propre apprentissage. Cette position est essentielle pour comprendre la notion de contrat qui se joue dans la situation de projet entre l'élève réflexif et le professeur projetant vers le milieu didactique des intentions didactiques, construites ou implicites, provenant des niveaux supérieurs.

L'analyse d'une situation partant de la situation S+3 pour aller de plus en plus profondément dans la structure des milieux est nommée par Margolinas2004 l'analyse descendante. Il s'agit, en quelque sorte de prendre le point de vue du professeur et d'analyser la situation de ce point de vue. Au contraire, partir de la situation S-3 permet une analyse de la situation en prenant le point de vue des élèves. Il s'agit alors de l'analyse ascendante de la situation. C'est la confrontation de ces deux analyses qui permettra de mettre en évidence le concept de bifurcation (paragraphe intentions).

Gilles 2012-03-05