Analyse des incidents

L'analyse suivante fait référence aux dialogues du paragraphe td2304 dans lesquels l'élève noté Q manipule la calculatrice connectée au rétroprojecteur.

Lignes 1-7 : introduction du TP ; cette première phase qui peut être vue comme une phase de négociation du contrat, a pour objet de mettre en place la situation.

Incidents	Perturbations
Deux incidents extérieurs IE1, ligne 3 : un élève ne veut pas venir  cobayer . Le professeur n'insiste pas et continue à présenter la situation, Le professeur essaye de positionner la tablette reliée à une calculatrice sur le rétroprojecteur (IE2, ligne 6).	Très vite, l'attention dans la classe diminue ; P0 rétablit la dynamique liée à ses intentions en questionnant la classe sur le problème de mathématiques et en s'impliquant dans la situation :  Alors, après qu'est-ce qu'il faudrait faire ? Qu'est ce qu'on (Souligné par moi) va faire ? .

Ligne 8-12 : modification du milieu matériel.
Incidents	Perturbations
Incident de contrat, IC1, ligne 8 : sur la réponse d'un élève, P+1 modifie le milieu matériel de la situation en rajoutant une démarche. Il s'agit alors de donner à $k$ des valeurs successives (1,2,3, ...), puis plus loin (ligne 12) des valeurs négatives ; mais en même temps, il faut intégrer les contraintes données par l'énoncé sur le paramètre $k$. Cet incident de contrat se poursuit par un incident mathématique, IM1, ligne 9 ; E par sa réponse montre la confusion entre la variable et le paramètre dans le problème.	La perturbation qui résulte de l'incident mathématique semble se terminer dans la ligne 11 lorsque un élève rectifie :  C'est un réel . En vérité la perturbation est beaucoup plus profonde et réapparaitra plus tard dans les épisodes des lignes 86-93, puis 141-150, puis 160-164 dans ce que l'observation a permis de voir des trajectoires dans la classe.

Lignes 13-26 : création du curseur
Incidents	Perturbations
L'épisode de construction commune du curseur s'achève par un incident syntaxique, IS1, ligne 21 :  Moi, ça fait rien . P0 s'adresse alors à un unique élève ce qui est générateur d'un incident de contrat, IC2, ligne 24.	La perturbation liée à l'incident syntaxique est réglée par les réponses du professeur qui possédait, en l'occurrence les éléments permettant de résoudre le problème ; en revanche, la modification de sa posture, s'adressant d'une part à une élève et d'autre part à la classe entière, modifie le contrat. La perturbation est sensible dans la classe dans laquelle un brouhaha commence à poindre : ligne 26 :  Bon alors, maintenant, chut on essaye de... .

Lignes 27-30 : création du curseur
Incidents	Perturbations
Incident syntaxique, IS1, ligne 27 sur la calculatrice d'un élève. Le professeur ne règle pas le problème posé.	La perturbation précédente n'est pas terminée, et le P0 choisit de privilégier le collectif en revenant sur le problème syntaxique précédent : faire en sorte que le curseur puisse afficher des nombres négatifs. Pour ce faire, P0 s'appuie sur l'élève cobaye (ligne 30) :  Tu me le fais, Q, s'il te plait .

Ligne 31-46 : réglages du curseur
Incidents	Perturbations
L'incident syntaxique, IS2, ligne 40 est provoqué par la difficulté à régler le pas du paramètre commandé par le curseur.	Cet incident provoque une perte de dévolution localement et participe globalement à la marginalisation de la calculatrice : ligne 45 :  Pas évident, oui, je sais c'est pas évident . Comme précédemment, même si le problème n'est pas réglé, P0 cherche à reprendre en main la dynamique collective de la classe en revenant sur le problème mathématique : ligne 45 :  Il y a combien de points d'intersection ? . puis ligne 46 :  AAh ! Chut, s'il vous plait, chut ! Laissez là, en fait. Alors qu'est ce qui se passe, là ? Quand $k=0$, qu'est ce qui se passe en fait ? .

Lignes 47-63 : reprise en main ; la perturbation créée par l'incident syntaxique précédent perdure ; P0 ramène progressivement les élèves dans la trajectoire prévue en essayant de s'adresser à la classe entière. Mais des incidents syntaxiques locaux se multiplient qui perturbent la trajectoire de la classe.

Lignes 64-85 : investissement d'une situation nildidactique. Dans ce long épisode qui dure environ cinq minutes, les élèves investissent une situation nildidactique ; ils manipulent le curseur sans relier l'expérience à l'aspect mathématique de la situation. Ils bougent le curseur, changent les valeurs de $k$, et observent l'écran en utilisant le zoom pour agrandir la fenêtre. Le milieu objectif réagit permettant aux élèves de donner une réponse de plus en plus précise. Cependant, ils n'investissent pas la situation d'apprentissage. Il n'y a pas d'incident dans cet épisode, le dialogue se poursuit sans blocage particulier, ce qui empêche le professeur de comprendre le nouveau jeu joué par les élèves qui semblent comprendre le rôle du paramètre.

Lignes 86-120 : la disparition.
Incidents	Perturbations
Le dialogue de cet épisode se déroule entre le professeur et l'élève cobaye. Il commence, comme annoncé plus haut par la résurgence de la perturbation créée par l'incident mathématique (IM1) de l'épisode 8-12. Il y a confusion pour Q entre les valeurs négatives que peuvent prendre le paramètre $k$ et le domaine de définition, réels strictement positifs de la fonction $\ln$. Il s'ensuit un incident de contrat , IC3, ligne 92 avec l'élève cobaye : par contrat, son travail doit être vérifié par le professeur puisque, comme cobaye, il correspond au media de communication entre le professeur et l'ensemble de la classe ; ce qui apparaît comme brisé : ligne 112 :  Mais alors depuis tout à l'heure, je fais pas ce qu'il faut et vous me dites rien ! .	La perturbation locale semble profonde pour Q :  Je comprends rien.  (ligne 93). Là encore la perturbation semble terminée dans le dernier dialogue entre P et Q (ligne 115-120) et le professeur demande à la classe de continuer le problème.

Lignes 121-125 : dans une perspective chronogénétique, P0 réorganise le temps en proposant à la classe les étapes à suivre :

ligne 122 :  Oui, bon ! Bon, allez ! On passe aux questions suivantes, là ! .

La réapparition de la perturbation initiale peut être perçue en ligne 125, lorsque Q déclare, encore une fois :  Je n'ai rien compris .

Lignes 126-136 : dans cet épisode, le professeur surveillant le travail des élèves dans la classe, note encore une fois la confusion entre inconnue et paramètre:  Attention, il n'y a pas deux inconnues  (ligne 126). Le statut des lettres d'une part dans la définition des fonctions (registre analytique) et d'autre part dans la résolution de l'équation (registre algébrique) n'est pas encore réglé.

Lignes 137-140 : cet épisode très court est significatif de l'essai de reprise en main de la situation didactique par le professeur ; P0 parcourt la classe et vérifie le partage de responsabilité dans le jeu (topogénèse) jusqu'à arriver à E qui fait ressurgir le problème de la variable et du paramètre en ne considérant que la fonction logarithme dans son étude.

Lignes 141-150 : deuxième résurgence de la perturbation
Incidents	Perturbations
L'incident mathématique, IM2, ligne 143 est lié à une proposition de E : il signale que le calcul de la dérivée n'est pas nécessaire sur $R^+_*$ puisque la fonction est croissante sur cet intervalle et la fonction $-kx^2$ aussi dans le cas où $k<0$. La somme de deux fonctions croissantes est donc croissante et le calcul de la dérivée n'est pas nécessaire.	Pour cette fois, la perturbation est du côté du professeur : P0 acquiesce mais ne propose pas de poursuivre dans cette voie sans justifier le manque de généralité de la méthode qui ne pourra pas être employée pour des valeurs positives de $k$.

Lignes 151-159 : retour vers l'élève cobaye ; après avoir parcouru les rangs et rétablit la topogénèse initiale, P0 confie de nouveau à Q la médiation vers la classe. Q a investi depuis son  je ne comprends pas  une situation nildidactique en faisant varier les valeurs de $k$ et en regardant les effets sur les points d'intersection des courbes des fonction $\ln$ et $x \mapsto kx^2$. Il a écrit les résultats des limites, mais semble toujours perdu dans l'évolution du problème.

Incidents	Perturbations
L'incident de contrat, IC3 de la ligne 158 :  Mais, j'en sais rien c'est quoi qui faut que je fasse ?  témoigne de cette perte de contrôle de la situation.	La perturbation concerne encore une fois le professeur puisque le contrat avec l'élève cobaye est renégocié :  Il faut que tu m'étudies cette fonction et puis, tu vois il faut résoudre pour dire quand est-ce que c'est ... Hein ? On te dit trouver... .

Lignes 160-169 : troisième résurgence de la perturbation.
Incidents	Perturbations
Sur une interrogation d'un élève sur la nécessité d'un calcul de la dérivée, Q revient sur le rôle de $k$ dans la définition de la fonction. La rétroaction de la calculatrice n'est pas comprise. Dans le calcul de limite, le signe de $k$ est déterminant et le calcul formel ne peut déterminer la limite à l'infini. La réponse :  undef  provoque un incident syntaxique, IS3, ligne 164.	La conséquence de cet incident de syntaxe lié à l'interprétation d'une rétroaction de la machine est une perte de dévolution et un décrochage qui est encouragé d'une façon involontaire par le professeur qui remarque la supériorité du cerveau humain mais ne donne pas d'indice pour résoudre le problème.

Lignes 170-197 : détermination du signe de la dérivée
Incidents	Perturbations
Q a changé de statut : de cobaye il est devenu scribe et doit écrire au tableau les calculs ; l'incident de contrat, IC4, ligne 180 est bien illustré par sa remarque :  C'est quoi la consigne ? .	Ce dialogue est assez représentatif de ce que sont les trajectoires suivis dans la classe. L'observation montre qu'à cet instant, les élèves retrouvent pour la plupart un exercice connu de Terminale (l'étude d'une fonction) qu'ils accomplissent sans forcément faire le lien avec le problème posé, comme Q au tableau. La perturbation commence à être sensible dans la classe et le professeur est obligé de ramener le calme comme en témoignent les nombreux appels au silence.

Lignes 198-199 : présence de l'observateur
Incidents	Perturbations
Cette perte de dévolution permet à un incident extérieur, IE3, ligne 198 de perturber un peu plus la trajectoire :  Y'a le monsieur au fond il va dire c'est qui ce mec ? .	P0 essaye alors de reprendre la maîtrise du temps.

Lignes 200-216 : fin de la première heure ; P0 essaye d'accélérer le temps dans la situation en maintenant le partage des responsabilités ; mais, à ce moment les trajectoires sont trop divergentes pour permettre de reprendre une dynamique commune.

Dans la deuxième partie du TD, le professeur dans une posture P0 fait avancer la classe en questionnant l'élève qui est au tableau. Par une suite d'effets Topaze, il modifie la topogénèse et conduit progressivement les élèves qui ont compris la modification du contrat vers la solution (il ne s'agit plus de chercher une solution, mais de comprendre la solution proposée par le professeur).

Lignes 221-225 : récitation d'une phrase type
Incidents	Perturbations
Incident de contrat, IC5, ligne 224 : P0 demande aux élèves de réciter le théorème de la bijection comme une phrase rituelle.	L'incident est déclenché par le contrat de l'examen qui s'oppose au contrat d'apprentissage dans la classe. L'intention du professeur est ici d'entraîner les élèves à la rédaction d'une copie de baccalauréat ( Bon, et puis, ça peut sortir le jour du bac, ce théorème de la bijection, on sait jamais ! , ligne 225), alors que PY cherche à résoudre le problème de mathématiques proposé.

Lignes 226-237 : confusion
Incidents	Perturbations
Incident mathématique, IM3, ligne 226 : déclenché par l'apprentissage par cur de la  litanie .	Le professeur ne rentre pas dans les détails de la compréhension du phénomène mathématique, mais s'en tient à la syntaxe de l'énoncé ; même si l'épisode se termine par un acquiescement de Q (ligne 234 :  D'accord, d'accord, d'accord ! ), la perturbation n'est pas terminée et remet en cause fondamentalement la compréhension du théorème.

Lignes 238-253 : détermination du signe de la dérivée
Incidents	Perturbations
Incident mathématique, IM4, ligne 238 : pour étudier le signe de la dérivée, l'élève pense étudier la fonction dérivée et déterminer la dérivée seconde.	La perturbation locale se poursuit dans tout l'épisode, faisant ressurgir le problème du statut des lettres dans la définition de la fonction (ligne 246 :  Mais le $x$ il est forcément positif , ligne 248 :  $k$ est positif, là ? ).

Dans l'épisode des lignes 254-299, le professeur reprend la main sur l'ensemble de la classe en s'appuyant sur l'élève cobaye qui cherche à résoudre l'équation $-2kx^2+1>0$. Le professeur surveille l'avancement conjoint dans la classe (ligne 259 :  Alors, continue, continue ! Allez, écris le parce que S est perdue ! PY, réfléchis avec nous ! ).

Lignes 300-324 : résolution de l'inéquation du second degré
Incidents	Perturbations
Incident mathématique, IM5, ligne 301 ; Q fait une erreur dans la résolution de l'inéquation du second degré	P0 prend prétexte de son erreur pour faire un rappel pour toute la classe. La conséquence est une perte de sens du problème initial et une perte d'attention dans la classe.

Lignes 325-348 : signe de la dérivée
Incidents	Perturbations
Un incident extérieur, IE3, ligne 325 débute l'épisode provoqué par l'agacement d'un élève sur le rythme de l'avancée de la résolution du problème.	La conséquence de l'incident est une reprise en main de la chronogénèse par le professeur :  Bon, alors, du coup, tu me corriges... , ligne 327.
Incident mathématique, IM6, ligne 328 ; il est encore conséquence de la perturbation liée au statut des lettres et renforcé par l'intermède de rappel de la résolution de l'inéquation du second degré dans $R$ tout entier, alors que l'inéquation dans le problème avait à être résolue dans $R^+_*$	La perturbation se poursuit sans que l'incident ne soit réglé (ligne 342 :  Y'a qu'une solution ? ).
Incident mathématique, IM7, ligne 344, déclenché par la perturbation précédente.	La perturbation précédente est renforcée et le professeur fait avancer la situation par un jeu de questions-réponses dans lequel l'élève cobaye s'engouffre. La dynamique de la classe est fortement perturbée et le professeur est obligé de rappeler à l'ordre, en même temps qu'elle accélère la résolution (ligne 349 :  Bon, alors, pareil, les limites... ).

Lignes 349-371 : recherche des limites
Incidents	Perturbations
Incident de frottement, IF1, ligne 354 : déclenché par le décalage entre le temps de l'EPM et le temps de résolution de l'exercice en classe un élève s'interroge sur le temps de l'épreuve.	Parallèlement au calcul de limite, la perturbation se propage dans la classe et modifie les trajectoires individuelles (ligne 362 :  On a combien de temps pour le faire, en vrai ? ). Le décalage entre les intentions du professeur et ce qu'en ont perçues les élèves est révélé dans cette perturbation, sans que le professeur ne re-précise le contrat : dans la situation, P0 souhaite utiliser la situation pour faire réviser les études de fonctions impliquant la fonction logarithme, alors que les élèves s'entraînent strictement à l'épreuve pratique. Le décalage entre ces deux points de vue alimente la perturbation créée par l'incident.

Lignes 372-384
Incidents	Perturbations
Incident mathématique, IM8, ligne 372 : déclenché par la perturbation précédente, un élève ne sait plus où il se situe dans le problème.	Les deux logiques distinctes de révision (de la part du professeur) et de résolution du problème (de la part des élèves) s'opposent et provoquent l'incident mathématique dans lequel les positions du professeur et des élèves empêchent le dialogue comme le montre les lignes 374-376 : 374 E : Je comprends pas qu'on trouve moins l'infini 375 P : Mais si, comme le dit M., ce qui l'emporte c'est $x^2$, donc limite de log de $x$ sur $x^2$ ça vaut 376 E : Non, mais c'est après pour les solutions, à quel moment on aura zéro solution ? La perturbation se prolonge et la perte de sens du problème ressurgit lorsque l'élève cobaye annonce, ligne 378 :  J'en peux plus ! . Il écrit sous la dictée, sans véritablement maîtriser le but des calculs.

Dans l'épisode qui suit, ligne 385-422, le professeur ramène la classe vers la résolution du problème initial ; la perturbation précédente a comme conséquence une perte de dévolution de la situation ce que les nombreux rappels à l'ordre montre clairement (lignes 386, 398, 401, 403, 409, 414). Le professeur dialogue avec l'élève cobaye dans la perspective de faire avancer la classe entière, mais le but de la situation n'est pas perçu et le temps de résolution beaucoup trop important par rapport au temps de l'épreuve bouleverse le contrat et provoque des dynamiques individuelles divergentes.

Lignes 423-430 : fin du problème
Incidents	Perturbations
Incident mathématique, IM9, ligne 427 : la réponse montre clairement le décalage entre la position des élèves et du professeur dans la situation.	Les perturbations ont fait perdre le sens du problème et P0 conclue la situation en s'appuyant sur quelques élèves. La réponse proposée est décalée, mais le professeur rectifie et conclue le problème.

L'observation montre encore nettement la séparation entre la partie expérimentale et la partie théorique. A aucun moment dans la deuxième partie, les acteurs ne font référence à l'expérience réalisée, quand bien même la difficulté des calculs masque le sens du problème.

Finalement, P0 est arrivé à la fin du TD prévu ; on retrouve tous les types d'incidents :

• des incidents mathématiques, souvent liés à une manipulation non naturalisée d'un objet mathématique,
• des incidents de contrat dans lesquels P0 cherche à institutionnaliser des connaissances alors que les élèves sont toujours dans une posture d'élève agissant ; la gestion du temps et le partage de responsabilités de l'acquisition des connaissances provoquent ces incidents de contrat,
• des incidents extérieurs provoquent une perte de dévolution de la situation,
• l'incident de frottement est la conséquence des perturbations provoquées par les incidents précédents qui placent progressivement les élèves et le professeur dans des situations différentes.