Analyse mathématique du problème

Il s'agit d'un problème très classique de terminale S de recherche du nombre de solutions de l'équation $\ln x=kx^2$ où $k$ est un réel ; il joue sur le fait que l'équation proposée est une équation transcendante, autrement dit que les solutions, lorsqu'elles existent sont définies par l'équation elle-même. L'analyse permet en étudiant la fonction $x\to\ln(x)-kx^2$ ou les fonctions $x\to\ln(x)$ et $x\to kx^2$ de déterminer le nombre de solutions en fonction du paramètre $k$. C'est exactement ce que propose cet énoncé, qui, dans un premier temps demande de conjecturer les réponses en faisant varier le paramètre $k$.

L'utilisation de la calculatrice permet ici cette conjecture, en utilisant le registre graphique de la calculatrice, et en programmant un curseur comme le suggère la fiche technique et comme illustré sur les figures fig1heure2 et fig2heure2.

Figure: Utilisation du curseur pour déterminer les points d'intersection de deux courbes

Figure: Utilisation du curseur pour déterminer les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses

L'apparent paradoxe provient de l'impossibilité de résoudre formellement l'équation $\ln(x)=k\times x^2$, ce qui est susceptible de déclencher des incidents mathématiques liés à la rétroaction du logiciel de calcul formel^4.12. L'analyse permet de préciser le nombre de solutions et leurs localisations (lorsqu'elles existent). On peut ainsi construire une suite $u$ qui converge vers l'une ou l'autre des solutions (dans le cas de deux solutions) et donc approcher aussi près que l'on souhaite les solutions.