Analyse ascendante

Cette analyse permet de construire le point de vue de l'élève pris au sens générique en se détachant des intentions du professeur. Le problème engendre une situation pour l'élève qu'il s'agit d'abord de comprendre puis de confronter à la réalité d'un ou de plusieurs élèves.

Dans la situation objective (S-3), E-3 est confronté au milieu matériel. Le fait que l'élève se place dans la position E-3 est un effet de contrat : le TP prépare à l'épreuve expérimentale de mathématiques, je dois m'y conformer.

L'énoncé, par son titre place d'emblée dans le milieu matériel M-3 le cadre des nombres complexes et le cadre des fonctions^4.4, et la position dans la salle informatique de la séance met l'ordinateur comme outil matériel utile à la résolution du problème. Plus précisément, la consigne :  Ouvrir un classeur Graphiques et géométrie , place le logiciel TI-Nspire et les connaissances sur l'utilisation des applications  Graphiques et géométrie  et  Tableur  et des liens de l'une à l'autre, dans le milieu matériel. Un élève qui n'a pas ces connaissances suffisamment naturalisées ne peut pas interpréter les consignes et avancer dans l'expérience (paragraphe objets) proposée.

D'un autre côté, les connaissances de géométrie élémentaires et d'analyse font partie du milieu matériel.

Dans la situation S-3, E-3 est confronté au milieu matériel composé de ses connaissances, du logiciel et de l'énoncé du problème

Dans la situation de référence (S-2) le milieu objectif (M-2) est constitué des interactions sujet-milieu de la situation S-3. Ici, les interactions de E-2 avec le logiciel sont des éléments du milieu objectif ; en particulier, les rétroactions du logiciel font partie intégrante de ce milieu et détermine la position de l'élève dans les situations objective ou de référence. Dans cette situation d'action, E-2 construit l'expérience sur les objets naturalisés présents dans la situation objective : objets de la géométrie élémentaire et leurs représentations dans un registre de représentation spécifique imposé par l'usage de l'application.

Dans cette position, E-2 est dans une position d'expérimentateur proposant des expériences sur des objets mathématiques présents dans la situation mathématique qui sont représentés dans un environnement dynamique.

La situation d'apprentissage (S-1) place E-1 dans un rôle d'interprétation et de formulation des résultats des expériences réalisées. Les rétroactions du milieu M-1 (le milieu de référence) vont rentrer en résonance ou en conflit avec les connaissances mathématiques des objets manipulés et avec les observations des représentations des objets. C'est aussi dans cette situation que les validations permettront de construire des connaissances nouvelles tant du point de vue technologique que mathématique :

• faire calculer une expression en fonction des grandeurs variables construites,
• relier les résultats numériques aux positions des objets dans le plan complexe,
• construire sur ces liens une relation fonctionnelle de P dans R,
• interpréter sa restriction au cercle trigonométrique comme une fonction de R dans R.

Dans la situation S-1, E-1 met en relation les expériences réalisées sur les objets mathématiques du milieu matériel et les relations mathématiques entre ces objets pour mettre en évidence les éléments permettant de construire la forme analytique de la fonction dont on cherche les extrema

Une branche nil-didactique peut également être investie par les élèves, reposant sur le même milieu matériel et sur une position dans S'-2 qui peut être résumée de la manière suivante :

Dans la situation S'-2, E-2 expérimente avec les objets mathématiques présents dans le milieu matériel pour produire une représentation dans le registre syntaxique du logiciel.

Dans cette branche, la situation S'-1 n'existe pas puisque la finalité apparaît comme la conversion de la représentation de la situation mathématique du registre de la langue naturelle (l'énoncé) dans le registre du logiciel ; l'investissement de cette branche peut être favorisée par la position de P+3 et son action dans les situations S0 et S-1 (Figure branches).

Figure: Branche principale et marginale nil didactique de la situation

Le professeur dans la position P-1 observe les interactions de E-1 et de M-2. Lorsque les élèves l'interpèlent et le questionnent, il peut ou non changer de position. Les réponses aux incidents didactiques peuvent contribuer à maintenir les élèves dans la situation marginale ou renvoyer à la branche principale en facilitant l'interprétation des résultats des expériences.

Dans la situation didactique (S0) se joue la rencontre entre les intentions du professeur et les apprentissages des élèves. Dans le milieu M0, les expériences ont été réalisées et E0 rend compte des constats qui peuvent être faits. Le professeur dans la position P0 relie les résultats des expériences et les connaissances visées. Il n'y a pas de chronologie entre les positions des acteurs dans les différentes situations, et dans cette première observation, on peut voir les positions des acteurs changer en fonction des interactions. L'analyse des incidents et des perturbations montre bien ces changements de position dans la structure des milieux.

Dans la situation S+1, l'élève revient sur les apprentissages et analyse les difficultés rencontrées en croisant les intentions du professeur et ses propres apprentissages : dans ce cas, E+1 peut interroger la méthode générale de l'expérience proposée. M+1 portant à la fois les techniques mises en uvre pour traiter le sujet mais aussi la méthode reproductible de l'expérience : à partir d'une figure de géométrie, définir des variables à partir de grandeurs mesurées, stocker des valeurs de variables dans des listes, représenter le nuage de points dans un système d'axes et conjecturer les extrema.

Cette analyse de la situation permet de comprendre ce qui peut être perçu des intentions du professeur dans cette séance. L'observation des élèves permet de confronter cette analyse à la contingence.