TD en salle de cours

Les élèves sont pendant deux heures en salle de cours. Le professeur a prévu une séance de correction d'exercices et une séance de travaux dirigés sur des exercices portant sur le chapitre des nombres complexes. La première heure est consacrée à une correction collective d'une série d'exercices portant sur les complexes (Enoncé exocomplexe15janv, Extraits des dialogues paragraphe debutH23). L'analyse complète de cette première heure n'est pas reportée ici, mais permet de placer l'analyse de la deuxième heure dans un contexte, que ce soit du point de vue du professeur que de celui des élèves.

La séance se plaçait essentiellement dans la situation S0 dans laquelle le milieu d'apprentissage échappait à l'observateur, la feuille d'exercices ayant été distribuée avant la séance. Le verbatim donné en annexe est caractéristique du déroulement : la séance s'est poursuivie de la même manière, avec un dialogue entre la classe et le professeur pour avancer dans la résolution des exercices. A aucun moment la calculatrice, pourtant présente sur toutes les tables n'est utilisée par le professeur. En revanche, les élèves s'en servent régulièrement ; malheureusement, le dispositif d'observation ne permet pas de savoir quelle utilisation en est faite.

La deuxième heure est consacrée à une séance de travaux dirigés. Un problème est proposé aux élèves :

$A$, $C$ et $E$ sont trois points du cercle trigonométrique de centre $O$.

$B$, $D$ et $F$ sont les images de ces points par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.

$M$, $N$ et $P$ sont les milieux respectifs de $[B,C]$, $[D,E]$ et $[F,A]$.

Il s'agit de démontrer que $MNP$ est un triangle équilatéral en utilisant les nombres complexes.

1. Expliquer pourquoi $z_B=e^{i\frac{\pi}{3}}$.
2. Ecrire une relation entre $z_C$ et $z_D$, entre $z_E$ et $z_F$.
3. 1. Exprimer $\frac{z_P-z_M}{z_N-z_M}$ en fonction de $z_1$, $z_C$ et $z_E$.
   2. Factoriser le numérateur par $e^{i\frac{\pi}{3}}$.
   3. Vérifier que $e^{i\frac{\pi}{3}}-1=-e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

      $e^{-i\frac{\pi}{3}}-1=-e^{i\frac{\pi}{3}}$.

L'énoncé détaille les notations à utiliser et les calculs à réaliser et commence par la construction sur la calculatrice de la situation géométrique.

La fiche distribuée aux élèves est construite à partir d'un extrait de manuel scolaire et d'un texte écrit à la main (Enoncé exoTP15janv).

Figure: Liste d'exercices sur les complexes

Figure: TP sur les complexes