Du personnel au général

Dans ce traité d'iconologie, Cesare Ripa se propose de montrer  les principales choses qui peuvent tomber dans la pensée touchant les vices et les vertus  ; cette vision des mathématiques, certainement désuète et surannée, nous donne cependant à voir un ensemble d'éléments que la rencontre avec cette discipline fait sûrement aborder. Le temps nécessaire pour l'acquérir, pour soulever le voile et accéder à la clarté des preuves, et à la beauté des formes, les instruments propre à cette Profession , aux objets et à leurs représentations, sont autant de Simboles de nos pensées  [page 2]Ripa1698 qui ont accompagné mon parcours d'enseignant.

Comme professeur de mathématiques, j'ai été amené à penser différemment mon enseignement du fait d'évolutions technologiques importantes. En particulier, le développement de l'informatique et la mise à disposition de logiciels de calcul et de représentation ont modifié mon approche des mathématiques et de leur enseignement. L'apparition des calculatrices dans la classe, puis des calculatrices graphiques ont constitué des étapes importantes de ma carrière de professeur. Cette évolution technologique s'est encore accélérée avec les systèmes de calcul formel, les logiciels de géométrie dynamique, les tableurs, d'abord disponibles sur des ordinateurs, puis sur des calculatrices :

Devant la nécessité de gérer des situations nouvelles, encore inexplorées, la didactique des mathématiques, mais aussi la psychologie cognitive en tant que moyen de penser les relations entre les acteurs et les savoirs, m'ont permis d'éclaircir et d'éclairer les comportements des élèves et de questionner mon propre comportement de professeur de mathématiques. Les modélisations qu'apportent les théories didactiques (Théorie des situations didactiques, théorie anthropologique du didactique, action conjointe... ) permettent, dans la classe, de prendre du recul vis-à-vis des phénomènes qu'il est alors possible de nommer et d'analyser. Les concepts de contrat, de milieu, de situation adidactique, de praxéologie, d'instrumentation sont autant d'outils qui peuvent servir dans la pratique quotidienne du métier d'enseignant pour peu qu'un travail de transposition des résultats de la recherche soit mené. Même si les concepts sont parfois interprétés, modifiés, souvent détournés, ils procurent cependant aux enseignants (et m'ont procuré) des outils permettant de questionner la pratique professionnelle et d'éclairer les comportements des élèves dans des situations de classe dont la complexité est immense.

Dans la période s'étendant sur les quarante dernières années, l'apparition de moyens de calcul portables n'a pas laissé indifférents les acteurs de l'enseignement des mathématiques ; cette révolution est bien sûr l'aboutissement d'une longue histoire, et pourrait certainement être rapprochée de la querelle  des abacistes et des algoristes   au XVIe siècle. Les abacistes, tenant des calculs par jetons, ont été supplantés par les algoristes défendant le calcul à la plume utilisant les algorithmes d'opérations portant sur la représentation des nombres dans un système décimal de position. La gravure sur bois (Figure [*]) attribuée à Martin Schongauer et parue dans Margarita Philosophica de Gregor REISCH (1487-1525) montre une allégorie de l'arithmétique se tournant délibérément vers le calcul posé symbolisé par Boece et détournant son regard de l'abaque de Pythagore. Dans un cas comme dans l'autre, un artefact en remplace un autre et tend à favoriser la  portabilité  du calcul. Dans un cas comme dans l'autre, la pratique du calcul est réputée devenir plus simple, plus ludique, plus satisfaisante pour le calculateur, comme en témoigne le sourire sur la face de Boece mis en relation avec le sérieux (la tristesse, le dépit ?) de Pythagore (Figure [*]) ! L'apparition des calculatrices numériques de poche constitue néanmoins pour l'enseignement une rupture en ce sens que, pour la première fois, ce sont les élèves qui font entrer ces artefacts dans la classe. Les professeurs de mathématiques et l'opinion publique suivent alors le mouvement engagé avec des enthousiasmes variés :

Students who do not do long division, who quickly pull out their calculator to complete the answer, do not understand the underlying principle of division... Calculators prevent students from seeing the underlying structure and beauty in math. (Newsweek, 3/11/97)

Figure: L'arithmétique préférant le calcul posé au calcul aux jetons
Image reisch

Un grand nombre d'expériences et d'innovations se sont construites durant ces années et les apports des outils de calcul et de représentation dans l'enseignement des mathématiques ont été largement diffusés dans les journaux professionnels Helstetter1974,Deledicq1977,Rade1979, Hebenstreit1979,Aldon1995 et à travers des publications de recherche Pluvinage1984,Canet1996 pour n'en citer que quelques uns. Très rapidement, les évolutions technologiques ont mis, à disposition des acteurs de l'éducation, des potentialités diverses en proposant des logiciels de géométrie dynamique Laborde1993, des grapheurs Gasquet1994, des logiciels de calcul formel Aldon1996,Mounier1996, des tableurs Dhalluin1987, Laura1990 et en les rendant disponibles sur des ordinateurs portables ou des calculatrices. Assez rapidement, la recherche didactique s'est intéressée à ce phénomène :

De nos jours, on peut distinguer quatre types d'impact de l'ordinateur en mathématiques : calculs numériques (simulation y compris), mathématiques symboliques, source de problèmes mathématiques et instrument d'exploration. [page 97]Bouvier1986

Ce qu'on nomme aujourd'hui informatique pédagogique relève en réalité, dans sa quasi-totalité, de la didactique et de l'ingénierie didactique. [...] Car il est grand temps qu'un débat s'ouvre : l'informatique pédagogique ne peut-être simplement une affaire de temps passé devant un clavier.Chevallard1985

En particulier, les recherches sur l'utilisation de la technologie1.1 pour l'enseignement des mathématiques ont tempéré l'optimisme des  pionniers . Les innovations s'appuyaient souvent sur des hypothèses affirmant que la technique étant dévolue à la machine, les élèves allaient pouvoir se concentrer plus radicalement sur le sens des objets mathématiques manipulés et plus généralement sur le raisonnement. La perception des acteurs dans les classes et, conjointement le regard de la recherche ont rapidement remis en question ces hypothèses Trouche1994, Laborde1994, Artigue1997, Artigue1997a : à la fois la distinction entre technique et raisonnement ne pouvait être faite de façon aussi radicale et l'usage de logiciels comme ceux de calcul formel nécessitait une appropriation longue et des apprentissages spécifiques :

D'une manière générale, l'usage de l'ordinateur se marie difficilement avec les séances de classe en temps limité habituelles. A cette remarque générale s'ajoute le fait que lorsqu'il s'agit d'utiliser un logiciel de calcul formel comme DERIVE, la familiarisation avec le logiciel est particulièrement longue car apparaissent des problèmes d'interface [...] Les impératifs analysés ci-dessus excluent donc les situations de recherche limitées à une ou même deux séances. [p.160]Arsac2007

Il apparaît cependant que, malgré des incitations institutionnelles fortes, l'usage de l'informatique dans la classe de mathématiques est encore loin d'être généralisé. Les recherches ont montré qu'au delà des prétextes évoqués (manque de formation, difficultés matérielles,...) qui sont parfois bien réels mais souvent insuffisants pour expliquer ces phénomènes, l'activité professionnelle de l'enseignant intégrant une technologie dans son cours est complexe et que les raisons internes  liées aux connaissances de la technologie, à la représentation des mathématiques et du métier de professeur, se combinent à des raisons  externes  (contraintes matérielles, institutionnelles, sociales,...) Rodd2002,Lagrange2009.

Malgré l'évolution rapide des technologies, des usages se développent dans les classes comme en témoignent par exemple les nombreux professeurs utilisateurs des services en ligne de Mathenpoche1.2 ou les nombreux comptes rendus paraissant aujourd'hui dans le journal en ligne Mathematice1.3. Cette apparente contradiction entre les résultats de la recherche et les affirmations relayées par ces collectifs d'enseignants montre bien le rôle important joué par les  pionniers 1.4 dans l'évolution de l'enseignement en même temps que la nécessité de mieux comprendre les fonctionnements de la classe ordinaire.

Gilles 2012-03-05