Observation 23 avril : Travaux dirigés en classe

Les élèves s'installent. Le professeur a installé la calculatrice rétroprojetable et distribue la liste d'exercices ; lecture à la classe :

1
P : Il s'agit de déterminer le nombre de solutions de l'équation $\ln (x)=kx^2$. Alors on vous demande, suivant... alors le problème, c'est qu'il y a un paramètre $k$, alors on vous demande suivant les valeurs de $k$ le nombre de solution de cette équation. Alors, qu'est ce qu'on pourrait faire ?

2
E : On trace la fonction ?

3
P : Oui, alors on va tracer quoi ? L. Tu es sûr que tu veux pas venir cobayer ?

4
L : Oh, non, c'est bon !

5
P : Non, c'est bon ? Mais tu le fais, hein ?

Brouhaha

6
P : Il est à l'envers ! On va y arriver ! Voilà !...  Chut....  Alors, après, qu'est ce qu'il faudrait faire ? Qu'est ce qu'on va faire ?

7
E : Choisir des valeurs.

8
P : Oui, on peut choisir des valeurs, alors on peut faire, je ne sais pas, moi, $1 x^2$, $2 x^2$, $3 x^2$... Alors, qu'est ce qu'on vous dit sur $k$ ? Qu'est-ce qu'il y a comme contraintes sur $k$ ?

9
E : $x$ est positif.

10
P : Ah, $x$ est strictement positif, mais $k$ ?

11
E : C'est un réel.

12
P : $k$ c'est un réel, alors il faut penser à faire aussi des trucs négatifs. Alors je vous laisse faire... après on verra... oui, je vous laisse faire vos trucs, regardez un petit peu, je vous laisse manipuler... Ce qu'on vous propose, en fait, c'est d'utiliser la fonction curseur, alors lisez d'abord le bas de la page svp, chuut. Alors un curseur c'est qu'on va varier de nous même la valeur de $k$ et ça va se faire automatiquement, en fait. D'accord ? Alors, vous allez vous mettre sur le menu Actions, donc hein, le premier et en bas, il y a marqué grand A, je ne sais pas si vous le voyez sur la calculatrice ? Controle curseur, voilà. Alors, attendez ! Avant d'aller là, vous allez... Q.6.3 tu vas me marquer, d'abord, $f_2(x)=kx^2$, donc dans l'éditeur on va écrire la fonction avec le paramètre $k$. Alors, comment on fait pour changer de fonction, mets toi en bas... voilà. Et après on va revenir sur le menu pointeur, sur le menu action.

13
E : On fait entrée ?

14
P : Oui, entrée. Alors $kx^2$, alors, on met le signe multiplié, je sais plus... Oui, alors, tu te remets sur le pointeur, menu action, contrôle pointeur, oui. Et là curseur. Voilà. Le problème c'est que dans l'énoncé, c'est $k$, et là, la machine, elle vous propose un paramètre, vous voyez, il y a un truc gradué, on va faire varier la variable, mais là elle s'appelle $v_1$, et nous on veux $k$, il faut l'effacer et l'appeler $k$, vous validez, voilà ! Et là, en fait, il y a une courbe qui apparaît, ça correspond à quoi ? $k$ a quelle valeur ?

15
Q : 5.

16
P : Oui, regardez, c'est marqué, 5. Non ?

17
E : On efface $v1$ ?

18
P : Oui, vous effacez $v1$, vous mettez $k$, vous validez. Voilà ! Donc, là vous avez la courbe de $5x^2$ en fait. Bon ! Alors, maintenant, est-ce que tu peux faire varier ? Tu te mets sur le curseur, vous voyez, oui, alors, il faut que tu aies la main et tu fais varier... oui, voilà, très bien, vous voyez ce qui se passe ? La courbe varie, vous n'avez pas besoin de le... de l'écrire vous même. Voilà donc vous variez...

19
E : Madame, pourquoi, ça ne devient pas négatif ?

20
P : Alors, pourquoi ça ne devient pas négatif ? Il y a quelque chose d'écrit sur le segment, là, sur le segment, vous voyez, ça varie entre 0 et 10. Alors, on peut peut-être régler, ça. Alors, on regarde, un petit peu. Regardez, dans la fiche technique, on vous dit comment améliorer, comment changer les réglages. Oui, pardon ?

21
E : Moi, ça fait rien...

22
P : Mettez fois, $k$ fois $x^2$. $k$ était bien pris en gras ou pas ?

23
E : Où ça ?

24
P : s'adressant à E Dans le... $k$ fois $x^2$, ah mais, tu l'as pas fait $f_2(x)$, qu'est ce que c'est $f_1(x)$, alors ? Remet $f_1$... Ah ben oui, qu'est ce que c'est sinus, qu'est ce que c'est ça ?

25
E : C'était ancien, oui !

26
P : Oui, mais tu le supprimes et là tu tapes $kx^2$, $k$ multiplié par $x^2$, voilà, voilà ça y est ok ? à tous Bon alors, maintenant, chut on essaye de...

27
E' : Madame, moi, j'ai pas contrôle curseur.

28
P : Comment ça, t'as pas contrôle curseur ? Non, alors attend. T'as quelle version là ?

29
E' : Ben normalement, j'ai une des mieux, parce que je l'ai acheté y'a pas longtemps.

30
P : Ah, be, mince, non, tu l'as pas. Je regarderai ça plus tard. Je regarde, mais normalement, ah yayayayaya ; elle doit être à un autre endroit surement, mais je sais pas. à tous Alors pourquoi ça s'arrête à zéro, parce que sur le segment c'est noté de 0 à 10. Alors regardez un peu ce qu'il faut faire pour avoir un autre réglage. On vous explique ce qu'il faut faire : contrôle menu, tu me le fais Q. s'il te plait, alors réglage. Alors, la variable s'appelle bien $k$, ça vous ne changez pas, par contre si vous voulez des négatifs il faut partir d'où ?

31
E : moins dix.

32
P : moins dix ? Alors moins dix si vous voulez ! Allez, on se lance, moins dix, valeur initiale

33
E' : Non, c'est le minimum.

34
P : Oui, alors, on va repartir de moins dix, justement. Oui, allez, valeur initiale, moins dix,

35
Q : s'adressant à un camarade E'' Tu fais contrôle menu, là et pis le menu là !

36
E'' : OK !

37
P : Bon, tu veux le faire horizontal, oui, mais il est horizontal de toutes façons. Tu fais OK, enter. Voilà ! Et maintenant tu reprends, oui, je sais, c'est pas évident, oui.

38
E : C'est quoi valeur initiale ?

39
P : Be, valeur initiale, c'est celle dont tu veux partir, à gauche sur ta truc graduée.

40
E' : Et pour faire varier le pas, quand on avance ? Pour faire varier le pas ?

41
P : Oui, euh...

42
E' : parce que là, c'est zéro vingt cinq mais...

43
P : Oui, mais c'est pas évident ça, normalement ça devrait marcher, là, mais... Chut !

44
E' : mais là, je peux pas arriver à ce que je veux.

45
P : Oui, à tous Oui, alors vous faites varier, là, qu'est ce qui se passe ? Là, c'est huit virgule cinq...  Pas, évident, c'est vrai que c'est pas évident... Brouhaha. Alors qu'est ce qu'il se passe, là en négatif ? Il y a combien de points d'intersection ?

Brouhaha

46
P : Ah ! Chut, s'il vous plait, chut ! Laissez là, en fait. Alors qu'est ce qui se passe, là ? Quand $k=0$, qu'est ce qui se passe en fait ? La deuxième fonction, c'est quoi, A. ? Chut ! Ça y est ? Quand $k=0$, qu'est ce qui se passe ? On vous demande de résoudre quoi ? Est ce que vous pourriez me donner... ouh ouh ! Il faut résoudre quoi ,

47
E : $\ln(x)=0$.

48
P : Oui, $\ln(x)=0$, et donc en fait...

49
E : Elle a pas affiché la courbe.

50
E' : $x=1$.

51
P : Répondant à E' Voilà, d'accord ! Donc, on a éliminé le cas $k=0$ ; maintenant pour le cas négatif, dites moi ce qui va se passer ,

52
E : Ça je l'ai fait, après on a fait entrée, réglage, et on...

53
P : Moins dix le minimum, moins dix ; voilà c'est ça, ça va revenir !

54
E : Ben oui...

55
P : Enter, enter.

56
E : Mais je l'ai fait !

57
P : Alors, il n'y a pas de courbe ! Ah oui, $k$ fois $x^2$, fois, fois ! Remet toi sur le truc...

58
E : Ah, d'accord !

59
P : à tous Ah voilà, alors ? Chut !

60
E' : Alors $x=1$.

61
P : Ben oui, $x=1$, $\ln(x)=0$ ; alors on écrit tout ça, hein, on affine. Alors $k$ négatif, qu'est ce que vous en pensez ?

62
E : Il faut faire négatif ?

63
P : Ben oui, regardez, essayez de suivre l'épreuve. Validez la conjecture. Qu'est ce que vous pouvez me dire ? Chut !

Temps 10 minutes Interruption enregistrement

64
P : Vous pouvez régler la fenêtre, évidemment pour voir un petit peu, faire un petit zoom, là, hein. Chut. Si vous faisiez un petit zoom. Bon alors on en est où, là dans vos recherches ?... Ah oui, mais alors là, c'est pas terrible tous ces trucs négatifs, non, règle ta fenêtre un peu mieux, hein ! Chuuut. Bon alors qu'est ce que vous avez retenu comme valeurs finalement ? Vous êtes sûrs que quoi ? Que pour $k$ égal ça, il y a combien de solutions ? Alors qu'est ce que vous m'annoncez comme valeur ?

65
E : Zéro deux.

66
P : Alors pour zéro deux qu'est ce qui se passe ?

67
E : De zéro à zéro deux il y a une valeur.

68
P : Donc pour $k>0.2$ alors, qu'est ce que vous m'annoncez comme solution ?

69
E : Aucune !

70
P : Aucune solution ? P écrit au tableau

71
E : C'est à peu près zéro deux.

72
P : Oui, d'accord, à peu près, hein ! Bon essayez d'affiner peut-être. Prenez quoi comme réglage, entre zéro et zéro virgule deux pour affiner un peu mieux. Donc apparemment pour $k$ supérieur à zéro deux, la courbe est au dessus, il n'y a pas de solution. Alors affinez un peu plus, hein, c'est ce qu'on vous demande. Donc changer de réglage, prenez la valeur maximum... Donc par exemple en zéro un combien il y a de solutions ? zéro un deux solutions ? Oui ? P écrit au tableau.

73
E : Zéro dix neuf.

74
P : Combien ?

75
E : Zéro dix neuf.

76
P : Donc, votre camarade me dit que quand...

77
E : Non, non, zéro dix huit !

78
P : Donc autour de zéro dix huit, zéro dix neuf.

79
Q : Regardez Madame, ça touche pas zéro dix neuf

80
P : Ah, zéro dix neuf, ça touche pas ! Alors zéro dix neuf non, zéro dix huit, oui ! P écrit au tableau Bon, ben c'est pas mal comme résultat ! Bon ben maintenant, on va essayer de le démontrer vraiment, hein ! Donc, vous allez faire les questions théoriques. Donc voilà ce qu'on attend. Première partie partie expérimentale. Donc, on résume. Chut ! Donc on résume, finalement. Combien de solutions pour $k$... $k$, finalement est comment ?

81
E : Non.

82
E' : Mais si !

83
P : Ah ! On n'est pas d'accord ?

84
E : T'as pas la bonne version !

85
P : Ah, zéro dix neuf, point d'interrogation. Bon, et ben on va essayer d'affiner ça, hein !

86
Q : Madame !

87
P : Oui.

88
Q : Regardez là.

89
P : Attend, mais là je ne vois rien du tout si tu veux me le montrer. Non, non, non, mais qu'est ce que tu vas me faire, moi ce que je veux voir... Tu me dis des trucs sur l'écran, moi je veux voir, moi... Non mais là, il n'y a rien, c'est les négatifs là, qu'est ce que tu me fais là ?

90
Q : Mais si, il y en a aussi dans les négatifs.

91
E'': Mais non y'a pas de ln !

92
P : Mais attend, logarithme d'un négatif, c'est pas possible !

93
Q : Je comprends rien.

94
E'' : Allez tais toi Q.

95
P : Enfin dans l'ensemble des réels. Bon ! Bon, ben on va faire les questions suivantes, hein ? Donc, voilà, le jour de l'épreuve, vous dites à, au professeur, donc c'est autour de zéro dix huit, zéro dix neuf que je sens que, avant il y a combien de solutions et après il y a combien de solutions ?

96
Q : Ah Madame, mais là !

97
P : Oui, alors qu'est ce qu'on voit là ?

98
Q : Là, là regardez !

99
P : Oui ! On voit pas grand chose, hein ?

100
Q : Là, je vais faire une pince avec mes doigts !

101
P : Oui, mais fais attention avec ton stylo, quand même !

102
Q : Là, la courbe elle est là, et après il n'y a pas de courbe après !

103
P : Y'a pas de courbe !

104
E : Si, elle est confondue, tu la vois pas !

105
P : Mince, alors, elle a disparue ! Rires

106
Q : Oui, mais y'aurait la section, là.

107
P : Mais elle est où ton autre courbe ? C'est quelle courbe ça ? Je ne sais plus où on en est, là.

108
Q : Mais c'est $kx^2$, là !

109
P : Ah, c'est $kx^2$ et $\ln(x)$ il est où ?

110
Q : $\ln(x)$ ?

111
P : Oui, il est où ? Où il est $\ln(x)$ ?

112
Q : Mais alors depuis tout à l'heure, je fais pas ce qu'il faut et vous me dites rien !

113
P : Mais qu'est ce qu'on regarde, Q ? On regarde les points d'intersection de deux courbes ! D'accord ?

114
Q : Ah ! d'accord ! Les points d'intersection de ça avec...

115
P : Il est où ton $\ln(x)$ ?

116
Q : De cette courbe avec...

117
P : C'est quoi, le point d'ordonnée nulle de $\ln(x)$ ? Q, tu réponds à ma question ! Quel est le point d'ordonnée nulle de $\ln(x)$ ?

118
Q : $\ln(1)=0$.

119
P : Oui, alors, tu as vu la graduation que tu as prise, là, zéro, zéro un...

120
Q : Ouais, donc je risque pas de l'avoir, quoi !

121
P : Oui, bon ! Bon allez, on passe aux questions suivantes, là !

Temps : 20 minutes

122
P : On fait tout passer du même côté, voilà, donc vous posez la fonction $g(x)$ par exemple égale...

123
E : $f$ c'est mieux !

124
P : $f$ bon allez, $f(x)$, Allez vous posez $f(x)$ égale...  Q s'il te plait ! Q au travail !

125
Q : J'ai rien compris !

126
P : Donc, la différence des fonctions et vous essayez de m'étudier ça sérieusement, hein ! D'accord. Non, attention, il n'y a pas deux inconnues. $k$ est un paramètre, mais c'est fixe, d'accord.

127
E : Oui, mais là, la dérivée...

128
P : Il n'y a que $x$ qui varie.

129
E : Mais pour trouver le signe de la dérivée, si on...

130
P : On fait le petit deux : démontrez que si $k$ est supérieur à zéro, donc, je pense qu'il doit y avoir des choses qui devraient vous interpeler, hein ?

131
E : On fait le deux ou le trois madame ?

132
P : Oui, on fait le petit deux !

133
E : Alors c'est inférieur à zéro.

134
P : Pour $k$ inférieur à zéro, oui.

135
E : C'est pas ce que vous avez dit !

136
P : Ah, pardon, excusez moi.

Une minute, le professeur passe entre les rangs

137
P : Oui, quand on n'arrive pas à le résoudre, alors c'est toujours la même méthode. Alors elle est où ta dérivée, elle est où ?

138
E : Là !

139
P : Oui, mais y'a pas que $\ln(x)$, y'a aussi l'autre fonction, donc on essaye de tout regrouper justement pour comparer par rapport à zéro. Alors, quelle est la dérivée de $x^2$ ? P s'éloigne

140
P : Oh tu crois que tu vas avoir la place ?

141
E' : $k$ c'est une constante ?

142
P : Oui, alors $k$ c'est une constante, comme tu dis, donc du coup ?... Voilà, très bien !

143
E'' : On n'a pas besoin de la dérivée.

144
P : Oui, on peut raisonner comme ça, oui

145
E''' : Un sur $x$ c'est positif ?

146
P : Ah oui, un sur $x$ c'est positif, oui...  Non, mais tu avais une bonne idée aussi, tu pouvais parler de la décroissance de... Enfin, bon...

147
P : Oui, le signe là. Attention, vous avez bien écris l'hypothèse, là, dans la deuxième question, $k$ est inférieur à zéro, hein ? Donc, retenez le bien ça. Dans la deuxième question, $k$ est négatif, hein !

148
P : Un sur $x$, ah, mais attendez, il est comment $x$ ?

149
E : Ben $x$ il est positif.

150
P : Il est positif, hein ?... Chuut

151
P : Allez, Q, tu t'y mets, oui !

152
Q : Attendez, madame !

153
P : Allez, tu veux aller au tableau.

154
Q : Oui. Mais là, j'ai presque fini.

155
P : Allez, tu fais sérieusement, hein ? Ah, les limites tu me les as bien justifiées, là ? Ah, non, non, non...

156
E : Si, là parce que ça fait moins l'infini moins zéro donc ça fait...

157
P : Eh be, tu me le justifies ! Aaaaah ! qu'est ce que c'est ça $x$ plus l'infini, qu'est ce que c'est ça ?

158
Q : Mais, j'en sais rien c'est quoi qui faut que je fasse ?

159
P : Il faut que tu m'étudies cette fonction et puis, tu vois il faut résoudre pour dire quand est-ce que c'est ...Hein ? On te dit trouver...

160
E : Faut faire la dérivée ?

161
P : Oui, bien sûr ! Alors ?

162
Q : Le $k$, il... c'est quoi ? On sait pas ?

163
P : Ben je crois que oui ! et donc du coup ?

164
Q : C'est quoi ces limites, même la TI elle connaît pas !

165
P : Attend, le $k$ c'est une constante qui est quoi ?

166
E : Même la Ti elle dit qu'il y a pas assez de ressource, j'ai du enlever les piles pour reset.

167
P : Ah ben c'est bête, alors franchement !

168
E : Elle a buggé dix minutes, je l'ai laissé comme ça avec la petite horloge et après j'ai enlevé les piles.

169
P : Comme quoi, le cerveau humain, quand même !

170
E' : Ça multiplie par $k$.

171
P : Ben oui, quand tu multiplies par $k$ ! Alors récites moi la formule $(ku)'$ c'est $k$ fois $u'$ ! T'as jamais vu cette formule ?

172
Q : Si, si peut être...

173
P : Non mais, peut-être...

174
Q : Mais je vous ai dit j'ai sauté la seconde !

175
P : Oui, mais ça, c'est Rires P écrit au tableau : $(ku)'=k \times u'$

176
Q : Ah oui, oui, ça !

177
P : Alors en plus, tu vois dans la formule, en plus c'est $k$ ; alors franchement, ça !

178
E : Non mais déjà, on peut dire que c'est toujours positif.

179
E' : Pas toujours.

180
Q : C'est quoi la consigne ?

181
P : Ben la consigne c'est, je sais pas, d'étudier la fonction et, je sais pas de voir les variations, de voir s'il y a combien de solutions égales à zéro, je sais pas... Bon, tu m'écris bien ça, là ! $-2kx^2+1$

182
Q : C'est pas bien ?

183
P : Mais je sais pas ! Qu'est ce qu'on en fait de ça ? Est ce que tu avais besoin de le faire, je sais pas ! Non, avant de faire la limite, qu'est ce qu'on fait ? Un tableau de variations, c'est quoi les étapes ? Premièrement on calcule la dérivée, deuxièmement, qu'est ce qu'on fait ?

184
E : Les zéros !

185
P : On étudie le signe de la dérivée ! Alors ? Q écrit au tableau $x\not= 0$ Non, oui, $x$ est différent de zéro, mais il est même ?

186
Q : Pourquoi, je sais pas...

187
P : Ben parce que dans l'ensemble de définition, tu as $\ln(x)$, déjà ! Bon, alors ? Chuuut !

188
Q : Et ben, si $x$ est négatif... Ça c'est strictement négatif, ça c'est positif.

189
P : Oui, et alors ?

190
E : $k$ est négatif.

191
P : $k$ est négatif, oui ! Tout est positif, oui. Alors, d'ailleurs est ce que tu avais besoin de passer à cette forme là ?

192
Q : Non !

193
P : Non, regarde en haut, là, est ce que tu pouvais pas...

194
Q : Attendez, attendez !

195
P : Non mais tu me le mets dans le bon ordre, parce que là, je n'y comprend rien du tout ! Là, je lis supérieur à zéro ! Non, chuuuuuuut, on lit de gauche à droite, alors s'il te plait, si tu me fais une bulle, moins deux c'est inférieur à zéro, hein ! Tu me l'écris bien, parce que sinon on ne comprend plus rien du tout ! Voilà inférieur à zéro, $k$ est inférieur à zéro, donc du coup, chuuuuut

196
Q : Comme c'est A qui m'a dit.

197
P : Laisse tomber, va... Plus un, chuuuuut. Donc du coup tu peux me faire le tableau de variation.

198
Q : Y'a le monsieur au fond il va dire c'est qui ce mec ?

199
P : Oh, s'il te plait Q ! Il t'a bien cadré, alors c'est pas la peine d'en faire trop ! $F'(x)$, voilà. Allez, limites !

200
E : Madame, pourquoi $-2kx^2$ c'est supérieur à zéro ?

201
P : $x^2$ c'est positif, $k$ c'est négatif, -2 c'est négatif

202
E : Ah oui, oui !

203
P : Chuuut ! Limite, parenthèse. Quand $x$ tend vers zéro plus.

204
E : Madame, on peut... Ah, non, c'est bon.

205
P : Alors ça fait quoi ?

206
E' : Ça fait moins l'infini plus l'infini

207
P : Allez log de $x$, voilà moins $kx$ donc du coup limite égal...

208
E : Ça fait une bijection.

209
P : La cloche retentit On termine limite de $f(x)$, quand $x$ tend vers plus l'infini. Chuuuuut ! Vous vous calmez un petit peu ! Chuuuuut !

210
E : Donc on voit que ça fait une bijection.

211
P : Dis A, tu as tout rédigé et le théorème après ? Oui, non, mais alors Q, quand même ! Pfff...  Allez, $x^2$,... $x^2$ !

212
E' : T'as oublié le carré, Q, à chaque fois ! et en bas aussi !

213
E'' : Bon allez, Q bouges toi, là !

214
P : Moins $k$ c'est positif...  Et alors on conclue, même si on l'écrit pas. Allez Q tu écris au tableau, est-ce qu'il y a un zéro ? Voilà, pointillé, voilà et tu mets $\alpha$ et on rédige quoi, le théorème de la ?

215
E : Bijection.

216
P : Bon, on fera la question après.

Fin de la séance Les élèves rentrent de récréations. Poursuite du travail sur la fiche. Q est de nouveau au tableau.

217
P : Bon allez, Q s'il te plait, ce n'est pas $f'(x)$. Quoi, quoi, ben, quoi ? C'est le vide existentiel ?

218
Q : C'est $f$.

219
P : Voilà, alors tu m'effaces 3, voilà ! $f$, $f$, c'est pas $f(x)$, c'est la fonction $f$ ! ... Bon, là, tu peux préciser, tu peux pas mettre monotone, tu sais qu'elle est comment la fonction ?

220
Q : Croissante.

221
P : Oui, voilà croissante ! Voilà, donc après on écrit la phrase... Tu l'as écrit la phrase PY ?

222
PY : Non.

223
P : Et be alors, qu'est ce que tu attends ?

224
PY : On la connait par c\oeur, c'te phrase !

225
P : Oui, mais on sait jamais, il y en a qui la savent pas encore très bien. Bon, et puis ça peut sortir le jour du bac, ce théorème de la bijection, on sait jamais !

226
Q : C'est toujours de l'intervalle sur euh...

227
P : Alors c'est toujours du départ sur l'arrivée, hein ?

228
Q : Non, non, mais je veux dire c'est de l'intervalle sur...

229
P : Sur l'arrivée.

230
Q : Sur la fonction.

231
P : Oui, il faut pas se tromper !

232
Q : Sur les valeurs qu'on peut obtenir de la fonction, c'est pas

233
P : Oui, l'arrivée, c'est les valeurs pour moi, he !

234
Q : D'accord, d'accord, d'accord !

235
P : Alors, il faut quand même préciser aussi,... avant de dire qu'il existe une unique solution, il faut quand même préciser quoi, aussi ? Chut ! Ah, je vois qu'on ne sait pas bien l'écrire en entier ! Et oui, avant d'écrire cette phrase, il faut préciser que zéro ça appartient à quoi ? L'ensemble d'arrivée, hein ? Voilà ! Il existe une unique solution Q écrit au tableau en $x_0$ ? pourquoi en ? Il existe une unique solution

236
Q : $x_0$.

237
P : Alors tu mets un accent sur à .... P s'adressant à un groupe de retardataires Ça va la récréation a été bonne ? S'adressant à Q Bon, alors, tu passes maintenant au cas négatif.

238
E : On va d'abord faire $f''$, non ?

239
P : Je ne sais pas, on va voir !

240
E' : On reprend la même ?

241
P : Ah, ben oui, heureusement, on reprend la même, oui, oh ! oui ! Donc $f'(x)$ tu me le remets ?

242
E : Mais est-ce que... est ce que $f'(x)$, enfin je sais pas, à mon avis j'ai du mal le faire, est-ce que $f'(x)$ on peut trouver son signe, bien

243
P : Ben, peut être, oui, peut être que $k$... Imagine que $k$, si tu le remplaces par un. Comment vous feriez si $k$ était égal à un ? Comment vous feriez pour étudier ça ?

244
E : Supérieur ou égal à zéro

245
P : Je sais pas

246
E' : Mais le $x$ il est forcément positif

247
P : s'adressant à Q Tu mets $f'(x)$...  Oui, $x$ est... Exactement ! On le remet, $x$ est toujours strictement positif. Donc $f'(x)$ est du signe de quoi ? Allez on l'écrit !

248
E'' : $k$ est positif, là ?

249
P : Oui, positif, voilà ! Alors le signe de $f'(x)$ ?

250
E : Le signe de $x$.

251
P : Oh, oh, comme ça ?

252
E : Non, non, pardon, il est négatif.

253
P : Ben oui, il est, donc, ça marchera pas... Donc, le dénominateur, ça c'est bien, qu'on sache qu'il est positif.

254
E : C'est le signe.

255
P : Oui, mais tu ajoutes un tu peux pas savoir...

256
Q : Ah oui, il faut faire le signe de $-2kx^2+1$.

257
P : Voilà alors tu l'écris, le signe de $f'(x)$.

258
Q : Ah, mais c'est que je suis intelligent.

259
P : Alors, continue, continue ! Allez, écris le parce que S est perdue ! PY, réfléchis avec nous !

260
PY : Y'a pas à réfléchir faut juste écrire !

261
P : Ah ben quand même il faut trouver le signe de ça, he ?

262
PY : Ça va être des racines, non ?

263
P : Qu'est ce que tu nous fais, en catimini ? D'accord ! Ah, là, j'ai pas bien suivi

264
Q : On fait delta.

265
P : Oh, delta, avec un b négatif...

266
Q : Ah ouais...

267
P : Attend, attend attend, je ne comprend pas très bien là ! Alors ?

268
Q : Jusque là ça doit aller, enfin, je pense.

269
P : Alors, $-2kx^2>-1$ ; alors, qu'est ce qu'on résout, au fait ?

270
E : Mais on peut pas faire la table, je sais pas.

271
P : Oh, si vous voulez faire la table, je sais pas, mais...

272
PY : Non, on peut les avoir rapidement.

273
P : Franchement, là, vous voyez pas ? Allez !

274
E : Fais passer $-2k$ de l'autre côté, là.

275
PY : Oui, c'était bon !

276
E : Fais passer $-2k$ de l'autre côté.

277
P : Bon, alors on passe quoi de l'autre côté ?

278
E : $-2k$ déjà et... 

279
Q : $-2k$.

280
P : Non, mets le un d'abord, peut-être, je sais pas !

281
E : C'est plus, plus ! C'est ça mais c'est plus ! Enlève le moins.

282
P : Attend, tend, tend ! Laisse le moins $2kx^2$ ; non mais ça va trop vite, là.

283
E' : Mais, il y a le signe là.

284
P : Mais, le problème, c'est que tu as divisé par quoi ? Je sais pas, moi ! Je n'ai pas suivi, j'ai une petite tête, moi, tu sais !

285
E : Non, mais non, laisse le un à gauche.

286
P : Bon, alors tu divises par quoi ?

287
Q : $-2k$ !

288
P : Est-ce que tu peux me préciser le signe de $-2k$ ?

289
Q : Ah, ça va changer !

290
P : Je sais pas ; tu l'écris, $-2k$ est de quel signe ? Enfin, tu le compares à zéro.

291
Q : Négatif.

292
P : Inférieur à zéro.

293
E : Mais tu peux enlever les moins, quand tu...

294
P : Alors finalement, qu'est ce qu'on trouve ? Voilà, alors on trouve $x^2<\frac{1}{2k}$.

295
Q : Alors c'est racine de $2k$ ou moins racine de $2k$.

296
P : Alors oui, il y a ...

297
E : Ah oui, les racines !

298
P : Ah oui, et E t'as dit aussi qu'il fallait penser au euh... Alors, comment on résout ça sur R ? Quand est ce que $x^2<\frac{1}{2k}$, sur R. C'est ça ta solution ? Attend, tu effaces à droite, là !

299
M : Il faut que $x$ soit compris entre les deux.

300
P : Oui, merci M ! Attention $x^2<\frac{1}{2k}$... Q, $x^2<9$ ça fait comment ?

301
Q : Ça fait inférieur à trois.

302
P : Ah bon, tous les nombres inférieurs à trois ont un carré inférieur à neuf !

303
Q : Ben oui.

304
P : Tu me dessines une parabole !

305
Q : Ouais, mais...

306
P : Dessine moi une parabole !

307
Q : Moins vingt au carré ça fera plus grand.

308
P : Dessine moi une parabole... Ouh ! Non, mais la parabole normale, ça c'est une jolie parabole, mais $x^2$, tout court !

309
Q : Elle est belle, non ?

310
P : C'est bon, mais elle passe par l'origine, là ! La parabole de référence ! Non, non, mais c'est très bien ! La courbe représentative de $x^2$, ça passe par l'origine, hein ! Voilà ! Résous moi graphiquement $x^2<9$, question de seconde ! Tu me prends une couleur, s'il te plait !

311
Q : Le bleu, ça vous va ?

312
P : Très bien ! ... Tu me colories, les points qui vérifient $x^2<9$ ! Il le fait Bon, alors résous moi ça, ça veut dire quoi résoudre graphiquement il montre son dessin Bien, alors, S est égal à quoi ?

313
Q : A tout ça !

314
P : Oui, mais c'est à dire ?

315
Q : Ben c'est bon, là.

316
P : Oui, mais moi, j'aimerai bien lire les extrémités.

317
Q : Ça doit être moins trois, là !

318
P : Oui, et pourquoi trois ?

319
Q : Parce que c'est la racine.

320
P : Égale, je sais pas pourquoi vous ne mettez pas le verbe.

321
Q : Parce qu'on n'a plus de cours de français.

322
P : Bon, je sais pas, tu mets tes crochets, bon on va pas.

323
Q : Ça dépend si vous voulez comme ça.

324
P : Alors tu mets les crochets ouverts si tu mets strictement inférieur.

325
E : Oh madame, c'est et quart.

326
Q : C'est bon, tu vas pas te plaindre.

327
P : Bon alors du coup, tu me corriges, si c'est sur R... Non, parce que je l'ai rencontré encore dans vos copies, çà. Quand $x^2$ est inférieur à ça, alors, chut ! Soit tu m'écris bien les solutions réelles, soit tu me précises que c'est ça pour $x$ compris entre ces valeurs

328
E : Il manque une solution.

329
E' : C'est pas ça !...  Fais comme moi, c'est bien !

330
Q : Mais on s'en fout nous, c'est positif !

331
P : Non, mais sur R quelles sont les solutions ? Je te pose la question, $x$ est inférieur à un sur deux $k$ ?

332
Q : Et ben...

333
P : Si je demandais sur R. Bon là, c'est vrai qu'on se contente de positif, mais si c'était sur R, j'aimerais bien que vous me répondiez.

334
Q : Comme ça ?

335
P : Oui, comme ça c'est quoi ?

336
Q : Supérieur à moins machin.

337
P : Voilà, il faut que $x$ soit minoré par... Regarde, là, tu as mis racine de neuf.

338
Q : Ben par moins racine de ça.

339
P : Oui, et bien tu me l'écris correctement, donc maintenant, qu'est ce qui minore...

340
Q : Ah non !

341
P : Allez, tu m'effaces tout ça. Le minorant c'est quoi ? Allez, moins... S égal, oui... Voilà, alors racine de un sur deux $k$, voilà. Mais c'est pas grave parce qu'ici, $x$ est positif.

342
Q : Y'a qu'une solution ?

343
P : Donc ici, on s'intéresse uniquement aux positifs stricts.... Bon, alors tu peux faire le tableau de variation, maintenant... Donc $f'(x)$, oui, donc qu'est ce qu'on en a déduit ? Que $f'(x)$ était positif pour quoi ?

344
Q : Ben $x^2$...

345
P : Non, mais qu'est ce qu'on a trouvé ? Tu viens de trouver la solution, dessus ! Voilà. Bon qu'est ce que tu mets comme valeur dans la ligne des $x$ ? Chut ! Ben qu'est ce que tu as trouvé comme valeur intéressante ? Voilà. Et puis, il faudrait peut-être aller jusqu'à... F. s'il te plait ! Chut, plus bas. Jusqu'où ?

346
Q : Plus l'infini.

347
P : Ben oui ! Donc il vaut mieux que tu mettes... Voilà ! Sous la racine qu'est ce que tu mets ?

348
Q : Un sur deux $k$.

349
P : Ben oui ! Voilà ! Et après $f(x)$...  Tu mets une parenthèse autour de $x$, parenthèse de $x$ ! Voilà, bon alors maintenant pareil, les limites. Allez, allez. Chut. Bon, alors là tu effaces, il faut recommencer parce que $k$ est positif, cette fois ci, hein ? ... Allez on fait la limite, quand $x$ tend vers ? A, tu l'as faite en zéro plus ?

350
A : Mais c'est pareil.

351
P : Non, là ça change, parce que $k$ a changé de signe, il faut peut-être refaire l'explication. Non, attention c'est la limite de quoi, Q ? Pas de $f'(x)$, $f(x)$ je te rappelle que c'est log de $x$ moins $kx^2$, hein ?

352
E : C'est pas log c'est ln !

353
P : Oui, log de $x$ moins $kx^2$.

354
E : Mais l'épreuve pratique c'est combien de temps ?

355
P : L'épreuve pratique, c'est trois quart d'heure... Alors attend, tend, tend, tend ! En plus l'infini, d'accord, oui ! J'aurais mis, d'abord qu'on commence par zéro plus... Oui, il est positif, oui.

356
E : Oui, mais $x$ il est plus fort que ln, alors !

357
P : Oui, mais vous me mettez en valeur la formule ! Il faut que quoi apparaisse ? Limite de quoi ?

358
E : Limite de ln de $x$ sur $x$ !

359
P : Non, on aurait pris plutôt, $x$ sur... Mais, là est ce que c'est $x$ qu'on va prendre, ici c'est plutôt $x$ au...

360
E : Carré.

361
P : Carré oui, $x^2$, allez tu t'arranges pour le mettre sous cette forme là. Donc je veux voir du ln de $x$... Oui, mais alors du coup il faut multiplier par quoi ? Tout ça tu le multiplies par quoi ?

362
E''': On a combien de temps pour le faire en vrai ?

363
E : Quarante cinq minutes.

364
P : Chut. D'accord, mais tu le multiplies par quoi, du coup ? Tout ça tu multiplies par parenthèse... Non, la parenthèse autour de ce que tu viens d'écrire, allez on se dépêche et tu écris limite.

365
E : $x^2$.

366
Q : Mais pourquoi ?

367
P : Pour qu'on change pas la fonction ! Alors, si tu mets égal, égal limite quand $x$ tend vers plus l'infini. Il faut rédiger correctement. Oui, mais tu entoures le carré en entier, là !

368
Q : Ça, d'après le cours ça tend vers zéro.

369
P : Zéro, d'après le cours, hein ? Formule globale. Après ? Donc du coup la parenthèse, ça tend vers quoi. Et ben, tu l'écris, la parenthèse ça tend vers quoi ?

370
Q : Moins $k$.

371
P : Voilà ! donc la limite ça fait moins l'infini. Donc tu le mets dans le tableau, s'il te plait. Sauf que c'est celle à droite, j'avais demandé de faire celle à gauche, mais c'est pas grave, on va la faire après. Et ben oui, c'est en plus l'infini, bon en zéro, maintenant.

372
E : Je comprends pas qu'on trouve moins l'infini

373
P : Uhmm ?

374
E : Je comprends pas qu'on trouve moins l'infini.

375
P : Mais si, comme le dit M., ce qui l'emporte c'est $x^2$, donc limite de log de $x$ sur $x^2$ ça vaut...

376
E : Non, mais c'est après pour les solutions, à quel moment on aura zéro solution ?

377
P : Et ben on va regarder sur le tableau justement ! Qu'est ce que vous en pensez ? Bon, alors, tu te dépèche, quand $x$ tend vers zéro plus.

378
Q : J'en peux plus.

379
P : Bon, alors, à ta place.

380
Q : Bon, alors ça va !

381
P : Bon, alors limite quand $x$ tend vers zéro plus. M. chut ! Bon, alors, ça tend vers moins l'infini. Allez, le maximum, maintenant !

382
Q : Quand ça tend vers ça ?

383
P : Ben, quand ça tend ? Quand ça y est ! Alors qu'est ce qu'on calcule maintenant. Bon, $f$ de racine un sur deux $k$, bon. Alors c'est quoi $f(x)$ au fait ? Voilà ln de racine de un sur deux $k$ moins... Alors, ça tombe bien, c'est le carré... Alors finalement ? ... Ferme bien ta parenthèse, hein ? Ah non, la parenthèse. Alors tu me mets, ça on le met où normalement ?

384
Q : On peut développer.

385
E : On laisse comme ça ?

386
P : Ben je sais pas, est ce que tu connais d'autres formules ? Bon, on verra après. Mais de toutes façons, le problème, c'est quoi ? Chut. On verra après. Oui, tu le mets comme ça. Donc maintenant on va regarder sur le tableau de variations. Qu'est ce que vous allez me dire maintenant ?

387
E : Ça dépend de $k$.

388
P : Oui, maintenant, ça va dépendre de $k$. Il faut en fait, chercher quoi ?... Donc, je vous rappelle le problème : trouver $x$ vérifiant $f(x)=0$. Alors qu'est ce qu'il se passe en fait ?

389
Q : Là il va y avoir croissant et là décroissant

390
P : Oui, mais si ce que... Qu'est ce que c'est ce 1 ?

391
Q : C'est ça !

392
P : Ah oui, mais c'est dangereux, ça. Met moi $f$ de racine un sur deux $k$. Donc ça, c'est valable si le résultat de ce qu'on vient de faire est comment ?

393
E : Positif !

394
P : Est supérieur à zéro, donc il faudrait peut être voir si ça marche pour tous les $k$, là ! Bon, alors, qu'est ce que tu en penses alors ?

395
Q : Ça, ça va être, ben ça dépend.

396
P : Oui, ça dépend, allez tu nous montres comment ça dépend. Bon, alors tu effaces à gauche, on va décider quand quoi ? Quand c'est supérieur, inférieur à zéro, c'est toi qui vois ?

397
Q : Supérieur.

398
P : Allez, alors tu me résous ça quand est ce que $f$ de racine de un sur deux $k$ est supérieur à zéro ? Chut. OK ?

399
Q : Là on va être obligé de tout sortir.

400
E : Supérieur...

401
P : Ben, je sais pas, qu'est ce que vous avez décidé ? Allez supérieur à zéro, supérieur ! Donc tu nous réécris ce que tu as trouvé. Logarithme, allez je te le dicte : logarithme de racine de un sur deux $k$ chuuuuuuut !

402
E : Racine, y'a racine ! Quelle horreur !

403
P : Bon qu'est ce que c'est les formules de logarithme de racine... Oh, arrête un peu, là tu dépasses les bornes ! Allez, logarithme de racine de $a$ c'est quoi ? Quelqu'un se rappelle la formule ?

404
E : Ah oui, c'est un demi logarithme de $a$.

405
P : Allez donc finalement, ça fait un demi log...

406
Q : log de $a$.

407
P : Oui, mais $a$ c'est quoi là ?

408
Q : un sur deux $k$.

409
P : Ben voilà ! Allez ! Chuuut ! Bon, après on peut simplifier, et on peut même multiplier par deux, alors ça fait quoi ?

410
Q : Ah oui, c'est puissance un demi.

411
E' : C'est tout des trucs qu'on connait pas !

412
P : Ben, bien sûr ! Allez après ? ...  Bon, alors après ? C'est ln de quoi ? un ?

413
Q : ln de e.

414
P : Ben oui, bien sûr. M, chuuut. Allez un sur deux $k$.

415
Q : Car strictement croissant. Supérieur à...

416
P : Oui, allez un sur deux $k$. Et donc finalement, qu'est ce qu'on peut dire sur $k$ ?

417
Q : $k$ supérieur...

418
P : Attend, tend, tend ! Comment tu fais pour faire ça ?

419
E : Exponentielle, exponentielle !

420
P : Bon, alors comment tu fais pour faire ça ?

421
Q : Ben je passe...

422
P : Ben si tu passes, ça fait quoi ? Oui, et donc finalement ? Attention... Oui, d'accord ! Non attend ! Oui ! C'est ça oui ? Alors vous me calculez un sur deux e.

423
E : Ça fait un virgule trente six.

424
P : Non, un sur deux e mais e en bas, hein divisé par deux e ! Voilà, donc vous me donnez quatre chiffre après la virgule s'il vous plait !

425
E : Zéro virgule dix huit soixante quatorze.

426
P : Voilà alors : zéro virgule dix huit soixante quatorze, alors c'était ce que vous aviez trouvé. Donc on conclue, maintenant. Donc je te rappelle que le sommet est inférieur à zéro pour $k$ inférieur à zéro, donc en fait on conclue : pour $k$ inférieur à $k$ sur deux e, combien de solutions à l'équation de départ ?

427
E : Une... non deux !

428
P : Ben non, si le sommet est au dessus, deux solutions pour $k$ égal un sur deux e, une solution et pour $k$ supérieur, zéro solution. Tu me l'écris ! Et on va essayer de commencer l'autre, vous allez au moins me faire l'expérience.

429
P : Tu te dépêches, tu l'écris pour $k$ égal un sur deux e... On va réviser le tableur et les suites... Donc pour pour $k$ inférieur à un sur deux e, d'après le tableau de variations, vous avez le sommet qui est supérieur à, donc on rédiges pas tout, hein, théorème de la bijection à droite et à gauche, donc deux solutions, hein ? Après pour quelle valeur une seule solution quand le sommet est confondu... Voilà, et quand... OK !

430
P : Allez, on se détend un peu, on refait la machine. On révises un peu les suites, maintenant !
Fin de l'enregistrement

Gilles 2012-03-05