Analyse ascendante

Dans le milieu matériel des élèves sont présents les artefacts numériques, les deux pages d'énoncé du problème ainsi que les feuilles de compte rendus distribuées en deux temps. Les connaissances de E-3 sur le sujet des suites sont a priori inexistantes, mais la forme de l'énoncé renvoie à des exercices déjà réalisés en classe ou hors la classe (beaucoup de jeux des magazines pour enfant ou adolescent comporte des suites à compléter).

Dans la situation de référence, E-2 en jouant avec les suites de nombres va construire les critères de validité d'une réponse et les confronter à la situation objective S-3. Le milieu matériel ne peut pas en soi donner de rétroactions sur cette validité (mais comme on l'a vu ce n'est pas possible puisque le problème n'a pas une solution unique). En revanche, l'énoncé, tel qu'il est construit, et notamment en demandant de généraliser (trouver le dixième nombre, le quarantième, puis le millième, ou en questionnant sur l'appartenance de nombres particuliers : le nombre 1275 appartient-il à une des suites, et 2187 ?) constitue un élément du milieu matériel qui permet de rétroagir non pas sur les valeurs trouvées mais sur les procédés de calcul utilisés. En particulier, dans l'utilisation d'un logiciel (tableur, logiciel de calcul), cette validité du procédé sera directement confrontée à la rétroaction syntaxique du logiciel : il y a transfert dans la situation S-2 d'un registre de représentation en langue naturelle dans le registre de représentation du calcul algébrique ou du logiciel utilisé.

Dans la situation d'apprentissage, les interactions avec le milieu de référence vont à la fois permettre une validation individuelle (il est possible de trouver un procédé de calcul permettant d'obtenir le n^eme terme de la suite) et collective (il est possible d'expliciter et d'expliquer ce procédé).

Dans la situation didactique, les intentions du professeur vont alors rencontrer les apprentissages réalisés dans la phase adidactique de la situation. La formalisation des résultats obtenus et l'institutionnalisation permet alors de relancer le problème dans une nouvelle situation comportant dans son milieu matériel les connaissances institutionnalisées qu'il s'agira de faire fonctionner pour favoriser leur naturalisation.