Analyse mathématique du problème

Ce problème se situe dans une classe de problèmes mettant en jeu la reconnaissance de forme. A partir des premiers termes d'une suite de symboles ou d'une suite numérique, il s'agit de trouver une logique de construction permettant de justifier du ou des termes suivants. Dans ce problème particulier, les suites proposées peuvent être vues comme :

• arithmétiques pour les trois premières (A de raison 1, B et C de raison 3 de premiers termes 3 et 2),
• D peut être reconnue comme la suite des nombres triangulaires (de la forme $\frac{n(n+1)}{2}$),
• E peut être la suite géométrique de raison 3 et de premier terme 3,
• F peut être la suite des nombres premiers.

Bien entendu, les cinq premiers termes d'une suite ne sont pas suffisants pour caractériser cette suite, et de nombreuses réponses différentes peuvent être trouvées. Si, bien sûr, on s'attend à ce que les élèves reconnaissent dans la suite A la suite des naturels, il est moins simple d'imaginer comment ils pourraient prolonger la suite F (les nombres premiers ne sont pas présents dans les programmes des classes précédentes).

Cependant, et l'encyclopédie des suites d'entiers^4.23 permet de le mettre en évidence, de nombreux prolongements peuvent être envisagés pour chacune de ces suites, comme les exemples ci-dessous le montrent :

Suite A : 1, 2, 3, 4, 5, 7 : comme la suite ordonnée des puissances $p^k$ des nombres premiers avec $k\ge 0$. Cette suite se prolongerait par : 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, etc. Mais ce peut être aussi considéré comme les six premiers termes de la suite des nombres déficients, auquel cas, le prolongement donnerait : 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, etc.

Suite B : 3, 6, 9, 12, 15, 20 : comme la suite définie comme : $a(1) = 3$, $a(n) = a(n-1) +$ plus grand facteur premier de $a(n-1)$. Ce qui se prolonge alors par , 25, 30, 35, 42, 49, 56, 63, 70, etc.

Suite C : 5, 8, 11, 14, 17, 23 : $a(n) = P(n) + c(n)$, où $P(1) = 1$, $P(n) = (n-1)$^eme nombre premier pour $n >= 2, c(n) = n$^eme nombre qui n'est pas dans la suite $P$ ; suite répertoriée A022798 dans l'encyclopédie (Clark Kimberling).

Suite D : 1, 3, 6, 10, 15, 2 : c'est la suite générée par le tableur Open Office en sélectionnant les cinq premiers termes et en étendant les cellules. Les termes suivants seraient alors 4, 7, 16, 3, 5, etc.

Suite E : 3, 9, 27, 81, 243, 19683 : suite des puissance de trois dont la somme des chiffres est aussi une puissance de trois (A067500, auteur Amarnath Murthy, 2002)

Suite F : 2, 3, 5, 7, 11, 15 : ce qui correspond au nombre de façons de décomposer $n\ge3$ en somme de nombres naturels. La suite se prolongerait alors en 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, etc. Ahlgren2001.

Ces exemples montrent que de nombreuses possibilités de poursuite des suites sont disponibles suivant les connaissances qui peuvent être mobilisées. Ils montrent aussi que le problème n'a pas de réponse unique, ce qui n'est pas habituel dans le cadre de la classe. On peut ainsi s'attendre à ce que les élèves cherchent LA solution pour chacune des suites et dans ce cas, si les suites A, B, C, E peuvent apparaître simples, des difficultés étaient prévisibles pour les suites D et F.