Position de la séquence

Cette séance vient dans la continuité de cours de mathématiques dont le professeur a donné un aperçu. Les tableaux ci-dessous reproduisent les rubriques du journal remplies  à la main  par Marie. La dernière colonne de remarques a été remplie à partir de l'entretien au début de la matinée.

6 janvier 2009 :

Objectif de la séquence	Ressources utilisées	Utilisation prévue de la calculatrice	Remarques
Cours sur l'interprétation géométrique de $\vert z-a\vert$ et de $arg\left({{b-a} \over {c-d}}\right)$	Polycopié à trous manuscrit	non

7 janvier 2009 :

Objectif de la séquence	Ressources utilisées	Utilisation prévu de la calculatrice	Remarques
Commentaire sur le contrôle	corrigé avec des indications sur la calculatrice et les complexes	Les élèves avaient pour tâche de vérifier les résultats du contrôle avec la calculatrice	Le professeur n'avait pas donné avant ces menus ; aucune difficulté particulière notée par le professeur

8 janvier 2009 :

Objectif de la séquence	Ressources utilisées	Utilisation prévue de la calculatrice	Remarques
Problème du lapin (cf. ci-dessous) Equations et fonctions trigonométriques Cours : forme exponentielle d'un nombre complexe	annale photocopiée Poly à trous, manuscrit	Vérification du calcul de la dérivée Recherche de solutions approchées à la calculatrice	Le calcul à la calculatrice donne un résultat plus compliqué que celui que l'on trouverait à la main ; en tout cas moins opérationnel : on est confronté ici aux simplifications de fonctions trigonométriques. Cf. ci-dessous Solutions multiples données par la calculatrice, nécessité de restreindre l'intervalle.

9, 13 janvier 2009 :

Objectif de la séquence	Ressources utilisées	Utilisation prévue de la calculatrice	Remarques
Séance d'exercices sur l'interprétation géométrique des nombres complexes	feuilles d'exercices manuscrites choisies dans différents livres	pas d'utilisation prévue de la calculatrice	pas d'utilisation de la part des élèves

13 janvier après midi : contrôle en quatre heures. Dans ce contrôle, aucune compétence liée à l'utilisation de la calculatrice n'est mis en évidence.

Dans ce journal, Marie décrit a minima le travail réalisé dans sa classe dans les deux semaines précédents l'observation. Il est clair que les circonstances de son engagement ont délimité les bornes du contrat d'observation. Ce que Marie donne à voir sont les éléments objectifs de la situation de projet et elle ne s'aventure pas à dévoiler sa position dans la situation noosphérienne. Le journal de bord permet de situer les séances observées dans une progression et ne donne que des indices sur ses conceptions de l'enseignement. C'est donc en recoupant les informations, en analysant les sujets proposés aux élèves et en recueillant dans les discussions (entretiens et discussions informelles) qu'il est possible de reconstituer cette position.

Analyse succincte du devoir à la maison

L'analyse de ce devoir participe à la compréhension de la position du professeur dans la situation noosphérienne et par symétrie à la compréhension du contrat didactique relatif à l'usage de la technologie.

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est-à-dire à ... 30 km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment $[CC']$ sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point $A$ en direction de $D$.

Cette direction est repérée par l'angle $\theta=\widehat{BAD}$ avec $0 \le \theta < {\pi \over 2}$ (en radians).

Figure: Le lapin traverse la route devant le camion

1. Déterminer les distances $AD$ et $CD$ en fonction de $\theta$ et les temps $t_1$ et $t_2$ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances $AD$ et $CD$.
2. On pose $f(\theta)={7 \over 2}+2\tan \theta -{4 \over \cos \theta}$. Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f(\theta)>0$.
3. Conclure

Solution comparée calcul à la main et calculatrice :

La première question donne une indication sur la marche à suivre. Le lapin traversera la route si le temps qu'il met à traverser est inférieur au temps que met le camion à parcourir la distance $CD$. La vitesse du lapin est de 30km/h soit 25/3 m/s. Le camion lui roule à 50/3 m/s. (Ces valeurs peuvent être données par la calculatrice en rentrant dans une page calcul 60 kph la calculatrice répond 16.6667 ${m \over s}$

$$t_1=\frac{12}{25\cos\left(\theta\right)}$$

$$t_2=\frac{21+12\tan(\theta)}{50}$$

Ecran 1

Le calcul sur la calculatrice conduit directement donne des résultats difficilement interprétables au vu de l'énoncé alors que le calcul à la main pour peu que le résultat soit en vue est immédiat :

$$\frac{12}{25\cos \theta}-\frac{21+12\tan \theta}{50}=\frac{3}{25}\left(\frac{4}{\cos \theta}-\frac{7}{2}+2\tan \theta\right)$$

Avec la calculatrice, le calcul (non immédiat) de ${t_1-t_2} \over f(\theta)$ donne une constante et peut amener à la factorisation.

Une fois cette difficulté dépassée, il s'agit d'étudier la fonction $f$ sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ et trouver les valeurs de $\theta$ si elles existent qui rendent $f(\theta)>0$.

Le calcul de la dérivée donne à la main :

$$f'(\theta)=\frac{2}{\cos^2 \theta}-\frac{4\sin \theta}{\cos^2 \theta}$$

et, clairement le signe de l'expression dépend de $1-2\sin \theta$, équation classique en terminale.

L'affichage de la calculatrice montre en revanche la difficulté provoquée par le calcul direct qu'il est possible de simplifier en utilisant la fonction tCollect :

Ecran 2

L'idée, bien sûr est alors de trouver l'intervalle d'angle dans lequel le lapin doit s'engouffrer pour échapper au camion ; la calculatrice permet d'obtenir des valeurs approchées et la restriction est trop importante si on indique que la résolution doit se faire pour des valeurs de $\theta$ comprises entre 0 et $\pi / 2$ et au contraire, ce qui a été noté par le professeur, beaucoup de réponses sont données qu'il s'agit ensuite d'interpréter comme on le voit sur l'écran 3.

Ecran 3

L'analyse de ce problème montre toutes les pistes intéressantes que le logiciel permet de suivre et donne une idée de la position du P-noosphérien vis-à-vis des mathématiques et de l'usage des outils de calcul. Le point de vue de P-noosphérien sur les mathématiques est de conduire ses élèves à une démonstration qui pourra être déduite logiquement des hypothèses, et conduit P-agissant à placer les éléments clefs de cette démonstration visée comme les questions du problème, les étapes nécessaires à la construction de la démonstration visée. Le logiciel apparaît alors comme un outil de vérification et non pas comme un outil de modélisation et de construction d'une stratégie.