Deuxième séance : introduction à la notion de nombre dérivée

Le professeur utilise deux activités du manuel pour l'introduction du nombre dérivé ; la première s'appuie sur la définition cinématique comme vitesse instantanée du nombre dérivé et la seconde détermine la pente de la tangente à la courbe d'une fonction comme limite des pentes des sécantes.

Le discours du professeur est enregistré et parallèlement des moments de travail sur les calculatrices sont filmés ; on retrouvera ci-dessous l'intégralité des interactions. L'enregistrement débute lorsque le professeur corrige une activité du livre déjà commencée en classe et que les élèves avaient à finir à la maison. Cette activité s'intitule De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée .

Temps	Gestes lorsque la caméra est dirigée vers un/des élève(s)	Discours
00	P écrit au tableau	P : Donc c'est le temps écoulé, hein, puisque j'ai le moment d'arrivée moins le temps de départ, et là, c'est bien la distance parcourue aussi ;...  puisque je mesure la distance parcourue en une seconde et demie moins la distance que j'avais déjà parcourue en une seconde, donc c'est bien la distance parcourue entre les instants un et un virgule cinq, d'accord ? Alors donc pour effectuer ce calcul, évidemment, qu'est ce qu'il faut qu'on détermine ? E : Les valeurs. P : Oui, les valeurs, alors, $d(1,5)$, qu'est-ce que ça vaut $d(1,5)$ ?... Comment on le calcule ? E : C'est 4,9 fois $t^2$. P : Oui, 4,9 fois 1,5 au carré. Qu'est-ce que vous avez obtenu ? E : 11, 025. P : Onze...zéro vingt cinq ? E : Oui. P : Vous êtes d'accord ? Les autres ?... Oui ou non ? Es : Oui timides. P : Et $d(1)$ ? E : 4,9. P : Oui, quatre virgule neuf fois un au carré, ce qui nous donne ? E : Quatre virgule neuf. P : Quatre virgule neuf ! Donc, du coup, si on remplace ici : onze zéro vingt cinq moins quatre virgule neuf sur... zéro cinq !... D'accord ? Alors, ce qui donne combien sur ta calculatrice ? E: Douze vingt cinq.
02	G a tapé sur sa calculatrice : $4.9*(1.5)^2-4.9/1.5-1$. Il obtient un résultat qui ne correspond pas. Silence	P : Douze vingt cinq ? Donc on a une vitesse moyenne de douze virgule vingt cinq mêtres par seconde. D'accord ? Ensuite, on vous dit : on s'intéresse à la vitesse de la balle entre deux instants très proches. On prend $h$ un réel non nul. Vérifiez que la vitesse moyenne $d(1+h)-d(1)$ sur $h$ de la balle est égal à neuf virgule huit plus quatre virgule neuf $h$. Alors comment on peut vérifier ça ? Alors déjà, on va peut-être essayer, comme tout à l'heure, de comprendre cette formule. Après, on fera les calculs. Pourquoi ça représente bien la vitesse moyenne sur un instant $h$ très court ? E : $d(1+h)$ c'est la distance et après inaudible. P : Voilà ! Si je démarre à l'instant un, j'enclenche mon chronomètre, et que je l'arrête un petit peu plus loin donc, si j'ai ici mon échelle de temps, à un j'enclenche, et c'est sur une durée $h$, donc j'arrive, le deuxième instant c'est un plus $h$. D'accord ? Et puis ensuite... Euh, là, c'est pas quatre, c'est...
	P cherche un chiffon pour essuyer le tableau.	On avait un truc, lundi, je ne me rappelle plus ! Quelqu'un aurait un mouchoir ou quelque chose comme ça pour effacer ? Merci ! C'est pas quatre, là, c'est $h$ ! Donc $d(1+h)-d(1)$ c'est ce qu'on avait là, ça fonctionne ! Et alors là ? Pourquoi c'est $h$, c'est pas étonnant ? Ça correspond à quel calcul ?
04		E : C'est comme au dessus ! P : Oui, c'est le $1+h$ moins un, en fait. D'accord ? Hein, c'est l'instant d'arrivée moins l'instant de départ. Alors comment est-ce qu'on peut vérifier ce qui nous est demandé ? E : On remplace les valeurs. P : On remplace les valeurs, c'est à dire. E : Un on remplace par quatre virgule neuf. P : On remplace un par quatre virgule neuf ? Ou ça ? Mais comment... Pourquoi on aurait le droit de remplacer le un par quatre virgule neuf ? E : Non mais le $d$ de l'instant de départ. P : Ah, alors oui, alors ça nous donne,... On remplace, qu'est ce qu'on va obtenir ? E : $d(1)$ moins $d$... P : Alors, oui, $d(1)$ c'est quatre virgule neuf...  sur $h$. Mais $d(1+h)$, c'est quoi $d(1+h)$ ? E : Quatre virgule neuf... P : Quatre virgule neuf plus $h$ ? Qu'est ce que ça représente ce $d(1+h)$ ? E Après 5 s : Quatre virgule neuf facteur de un plus $h$ . P : Quatre virgule neuf facteur de un plus $h$ ! Et pourquoi ?
06		E : Parce que $d(t)$ c'est quatre virgule neuf fois $t$ au carré. P : Oui, alors... E : Oui, non, quatre virgule neuf fois un plus $h$ au carré. P : Voilà ! Je repose ma question, en fait, qu'est ce que ça représente $d(1+h)$ ? Concrètement ? 10 secondes de silence Si je fais ce calcul, je vais obtenir quoi ? 2 s Ça représenterait quoi, le résultat de ce calcul ? E : La distance finale ! P : La distance ? C'est à dire la distance finale... la distance parcourue. E : De un. P : Oui, à la durée $1+h$. D'accord ? Et donc, en fait pour calculer $d(1+h)$ il faut simplement que je remplace ici $t$ par $1+h$, hein, pour avoir la distance parcourue, on sait que c'est quatre virgule neuf fois le temps élevé au carré et la le temps du parcours, c'est $1+h$. Donc, voilà ce que vaut $d(1+h)$. Donc on peut le mettre ici. Il écrit au tableau. Et alors, ensuite, qu'est ce qu'il faut faire ? E : remplacer $h$. P : Oui, remplacer $h$ par quoi ? E : Ben les valeurs. P : Par les valeurs qu'on nous donne ! Mais, est-ce qu'on a répondu à la question qui nous était posée ? E : Non. P : Non, alors qu'est ce qu'il faut répondre ? E : Il faut résoudre la fraction.
08		P : Résoudre la fraction ? La simplifier, hein ? Il faut essayer de simplifier cette écriture, alors si on veut simplifier, comment il faut qu'on fasse ? E : Développer. P : Oui, on va développer la parenthèse. Alors ça nous donne quoi ? E : Un au carré plus deux $h$ plus $h$ au carré. P : Un au carré, donc c'est à dire un... plus deux $h$ plus $h$ au carré. Oui, voilà, facteur de quatre virgule neuf, et il reste le quatre virgule neuf ici... Ensuite ? E : Inaudible P : Pardon ? E : On distribue. P : On distribue, oui, alors, ça nous donne ?
	P écrit au tableau sous la dictée en répétant.	E : Quatre virgule neuf...  plus plus neuf virgule huit $h$...  plus quatre virgule neuf $h$ deux...moins quatre virgule neuf. P : le tout sur ? E : $h$. P : On peut simplifier les deux quatre virgule neuf et après on peut ? Oui, ici on s'aperçoit qu'on peut mettre en facteur $h$ ; donc ça fait $h$ facteur de quoi ? E : Quatre virgule neuf $h$ plus neuf virgule huit. P : Oui, et donc on peut en effet simplifier par $h$ et on obtient bien ce qui était annoncé. D'accord ? C'est bon ? ... Bon et alors après comment on fait pour compléter le tableau qui nous est proposé ? E : On remplace par les valeurs.
10		P : On remplace...$h$, oui, par la valeur ? Alors par exemple, la première valeur c'est combien ? E : Zéro virgule un. P : Zéro virgule un, donc $h$ et puis est-ce qu'elle a un nom donc la vitesse moyenne. Alors si on remplace $h$ par zéro virgule un, qu'est-ce qu'on obtient ? E : Dix virgule vingt neuf. P : Dix virgule vingt neuf... Comment on l'obtient ce dix virgule vingt neuf, en fait ? E : Ben on remplace... P : Oui, mais on remplace où ?
11	Un élève montre le tableau. P montre à son tour.	P : Là ? Ah, voilà, d'accord. Maintenant qu'on a une expression simplifiée plutôt que de refaire les calculs comme on l'a fait tout à l'heure avec un virgule cinq, là on peut se contenter de partir de cette formule là ! Et puis, alors, la valeur suivante, c'est combien ? Zéro, zéro, un ? E : Neuf virgule huit quatre neuf. P : Neuf virgule ? E : Huit quatre neuf. P : Neuf virgule huit quatre neuf.
	P écrit au fur et à mesure au tableau ; les élèves calculent sur leurs machines et dictent	P : Ensuite, je crois que c'est le millième. P : Neuf virgule huit zéro quatre neuf. Bon, on pourrait continuer, euh... D'après vous, si c'était le dix millième, ça vaudrait quoi ? E : Neuf virgule huit zéro zéro quatre neuf. P : Oui, qu'est ce que ça veut dire, finalement ?...  Qu'est ce qu'on peut constater si on regarde ces valeurs ?...Elles sont ? E : Décroissantes. P : Décroissantes, oui, et puis ? Pardon ? E : Ce sont les valeurs qu'on lui donne. P : Oui, ce sont les valeurs qu'on lui donne, et puis ? E : On voit que Inaudible. P : Voilà, et c'est ça qui est important. C'est qu'elles vont en décroissant, mais elles se rapprochent de plus en plus de la valeur ? Neuf virgule... huit ! Hein, si réellement ce qu'on suppose, c'est à dire chaque fois qu'on rajoute un zéro, ça intercale un zéro, ça va être neuf virgule huit et zéro, zéro, zéro... quatre neuf et puis, chaque fois il y aura un peu plus de zéros. Donc, ici quand je vais prendre des valeurs de plus en plus petites, qu'est ce qui va se passer, pour ma vitesse moyenne ? E : Elle se rapproche de plus en plus de neuf virgule huit mais on pourra jamais l'atteindre. P : Voilà, elle se rapproche de plus en plus de neuf virgule huit mais il y aura toujours un quatre neuf qui va traîner à la fin, on aura beau avoir intercaler autant de zéros...Donc on va se rapprocher de neuf virgule huit mais, ce neuf virgule huit, on l'atteindra ? E : Jamais. P : Jamais ! Mais alors ! Si on réfléchit bien, qu'est ce que je calcule quand je prends $h$ égal zéro un ? C'est à dire, ce dix vingt neuf, ça représente quoi, en fait ?...
14	30 s de silence. F est observée : elle fait sur sa calculatrice les différents calculs pour différentes valeurs de $h$	P : Pourtant, c'est quand même écrit plus ou moins ! E : C'est une vitesse moyenne ? P : Alors, c'est une vitesse moyenne, oui, on va essayer d'être plus précis. C'est quelle vitesse moyenne ? E : Entre quatre virgule neuf et... P : Entre quatre virgule neuf et quatre virgule... Est-ce que c'est bien ça ? Vous voyez, là, vous avez fait des calculs, et ça en général vous arrivez bien à le faire, mais vous êtes complètement déconnecté de la raison pour laquelle vous faisiez ces calculs et ce qu'ils représentent. Donc le dix vingt neuf, je suis d'accord, c'est une vitesse moyenne, mais c'est quelle vitesse moyenne ? E : Inaudible P : Pardon ? E : A mon avis tout au long de sa descente. P : Tout au long de la descente ? E : La vitesse moyenne qu'il avait dans la descente.
	P montre dans le tableau la valeur pour $h=0.01$.	P : Pendant toute sa descente ? Alors ça aussi, alors ? E : Non... P : SI on essaye de comparer, là, on n'a pas le même résultat. E : C'est la vitesse moyenne du temps parcouru. P : Ça veut dire quoi, la vitesse moyenne du temps parcouru ?
16		E : C'est dans une seconde. P : Une seconde ?... Oui, ce que je voudrais, c'est que tu m'expliques un peu, éventuellement, Silence, 10 s. On est d'accord, c'est une vitesse moyenne, bon ! Alors, la vitesse moyenne, c'est entre deux instants. Alors, c'est quoi les deux instants qu'on prend ? E : $t_1$ et $t_1+h$. P : Alors, le $t_1$ dont tu parles, il vaut combien, en fait ? Silence, 6 s. Ou alors, j'ai mal compris, quand tu disais $t_1$, tu sous-entends ?... Alors, je reprends la question : entre quelles instants, le dix vingt neuf, c'est la vitesse moyenne entre quels instants ? Oui ? E : Un virgule zéro et zéro virgule zéro un. P : Alors c'est pas un virgule zéro et zéro virgule zéro un, c'est entre ? Alors un virgule zéro, déjà ça fait combien ?
17		E : Un. P : Un, oui, donc, c'est entre l'instant $t$ égal un et l'instant ? E : Un plus zéro virgule un. P : Un plus éro virgule un, c'est à dire ? E : Un plus $h$. P : Oui, c'est le un plus $h$, donc ça fait combien ? E : Un virgule un.
	G a ouvert l'application géométrie et tracé un arc de cercle et sa tangente. Il utilise les menus pour effectuer un zoom.	P : Un virgule un, voilà ! Ce dix vingt neuf c'est la vitesse moyenne de la bille entre l'instant un et l'instant un virgule un, d'accord ? En mètre par seconde, bien sûr. Donc c'est sur le dixième de seconde qui s'est passé juste après la première seconde, d'accord ? Donc, on a regardé après la première seconde et un dixième plus loin. On a eu la distance parcourue, et donc on a pu calculer la vitesse moyenne. C'est ça qu'on a ! D'accord ? Alors ensuite, le neuf huit cent quarante neuf, ça va être quoi ?
18		E : Inaudible P : Oui, c'est toujours un plus $h$, donc c'est entre l'instant un et l'instant un virgule zéro un, c'est à dire sur le centième de seconde qui s'est passé après la première seconde, et ainsi de suite, et alors, donc, qu'est ce qui se passe si je passe de un à un virgule un, j'ai une première vitesse, entre un et un virgule zéro un, j'ai une autre vitesse, entre un et un virgule zéro, zéro un j'ai encore une troisième vitesse, qu'est ce qui se passe si je prends comme ça mes différentes vitesses, et que je prends des valeurs de $h$, comme ça qui sont de plus en plus petites ? Je vais me rapprocher de quoi ? Silence 10s. E : La vitesse du départ. P : La vitesse du départ, alors est-ce que c'est vraiment la vitesse du départ ? E : Juste après le lancer. P : Oui, combien de temps après le lancer ? E : Une seconde.
19	P dessine au tableau.	P : Une seconde, oui, c'est à dire je vais me rapprocher de la vitesse instantanée de la bille à l'instant une seconde ; c'est à dire, j'ai ma bille qui descend, comme ça et je regarde à une seconde et à un virgule un, bon, j'ai trouvé la vitesse sur ce trajet, ensuite j'ai mis, l'échelle est pas respectée, hein ?, j'ai mis un virgule zéro un et j'ai trouvé la vitesse ici, et puis j'ai pris encore plus petit un virgule zéro zéro un et j'ai trouvé la vitesse moyenne sur cet intervalle et vous comprenez bien si à chaque fois je divise mon intervalle comme ça dix fois plus petit, ben je vais être de plus en plus proche de la vitesse instantanée. Et c'est comme tu le faisais remarquer tout à l'heure pour le... pour le zéro, neuf virgule huit zéro zéro quarante neuf on l'atteindra jamais neuf virgule huit, et bien là, c'est pareil on n'atteindra jamais, on aura toujours un petit écart entre les deux instants mais on va se rapprocher de plus en plus, en prenant un écart de plus en plus petit, on va se rapprocher de plus en plus de la vitesse instantanée. Et c'est ce que font les radars, quand on vous dit vous rouliez à cent quarante kilomètre heure, c'est pas la vitesse instantanée qu'il a mesuré le radar, il ne sais pas faire, ce qu'il sait faire c'est calculer la distance parcourue entre deux instants très proches et il fait le calcul qu'on vient de faire. D'accord ? Donc en fait qu'est ce qu'on vient de trouver, cette valeur neuf virgule huit ça va représenter quoi, finalement ? E : La vitesse instantanée.
20		P : La vitesse instantanée... ? E : Au point un. P : Alors, oui, c'est pas au point, c'est au temps $t$ égal un. D'accord ? C'est bon ? Alors on va essayer de retrouver tout ça avec la machine.
21	P lance le logiciel sur l'ordinateur. Il cherche le crayon optique. F ouvre une fenêtre graphique. Dès que le professeur recommence à parler, elle revient sur la page d'accueil et ouvre une page de calculs. P ouvre une page calculs et écrit la formule. F écrit de même sur sa calculatrice	P : Parce qu'on nous demande de refaire la même chose avec $t$ égal deux.... Bon, je ne vais pas pouvoir m'amuser, je n'ai pas le stylo ! E : Oooh ! P : Alors, par quoi on va commencer pour reprendre ces calculs avec la calculatrice ? Quelle est la première chose qu'il serait intéressante de faire ?
22		E : L'équation avec la variable. P : Alors, l'équation avec la variable, de quelle équation tu parles ? E : $\frac{d(1+h)-d(1)}{h}$. P : Alors $\frac{d(1+h)-d(1)}{h}$, on va essayer d'écrire ça, alors. Allez on va essayer. Donc là P écrit sur le logiciel.
		P : Qu'est ce qui se passe ? E : Mais il sait pas ce que c'est $d$. P : Voilà ! Très bien ! La machine, elle réécrit, elle ne sait pas ce que c'est $d(1+h)$ ou $d(1)$.
23	G1 a aussi essayé d'écrire sur sa machine l'expression, mais a fait une erreur de parenthésage et a écrit $1\times h$ au lieu de $1+h$. Il choisit le menu Define, attends que P écrive au TBI et rentre la fonction	P : Quelle est la première chose qui faudrait que je fasse ? E : Définir la valeur. P : Définir, c'est pas la valeurs. E : La fonction. P : La fonction, voilà, alors comment on fait pour dire à la machine pour définir une fonction ? E : Define. P : Define, oui, alors, moi, j'ai pas là mais vous c'est menu un un, d'accord, donc on va définir, quelle fonction ? Qu'est ce qu'on va lui dire, maintenant, alors Define ? E : $d(t)$. P : Voilà $d(t)$, quant à faire, on va pas lui dire $f(x)$ et qu'est ce qu'on va lui dire ? E : $4,9 t^2$. P : Voilà, $4,9 t^2$. D'accord ?
24	G1 a rentré correctement la définition de $d$ ; il effectue le calcul de $d(1)$ en même temps que P	P : Voilà, on lui définit ! Alors on va vérifier ; tout à l'heure on avait calculé $d(1)$. On va essayer pour voir.
	G1 effectue le calcul. G1 : Ben oui, ça marche. Son voisin, G2 prend alors sa calculatrice et définit la fonction $d$ Il regarde au tableau pour rattraper les calculs. Les élèves utilisent leurs calculatrices.	P : On avait calculé $d(1,5)$ aussi. P : Ça marche bien. Alors, tant qu'on y est on va effectuer le calcul $\frac{d(1,5)-d(1)}{0,5}$.
25	P fait au tableau une erreur de parenthésage. P réédite l'expression et corrige. G2 a fait la même erreur sur sa machine mais ne la rectifie pas.	P : Voilà. J'espère que je ne me... Ah, c'est pas comme ça qu'il fallait que je fasse. Voilà ! Euh, il y a une chose que je ne vous ai pas montré, euh, lundi, certain l'ont remarqué, quand je tape $d$, il se met en gras, alors d'après vous, pourquoi il se met en gras ? E : Il le connait ! P : Voilà ! La machine connaît, elle sait que $d$ ça représente quelque chose, c'est quelque chose que je suis sensé connaître et que je vais pouvoir utiliser. Donc, si jamais, vous avez défini une fonction et qu'elle ne se met pas en gras, et bien c'est que en fait la machine ne la connait pas. Donc, j'en était, voilà,... Douze, vingt cinq. Bon, bien maintenant, on est prêt, je ne vais pas le retaper, il était là-haut, ça je peux l'effacer
26		P : Je vais refaire le calcul que j'avais demandé, là, tout à l'heure. Voilà. Bon est-ce que c'est ce qu'on obtient nous ? Moi, je n'ai pas tout à fait ça, au tableau, c'est ? E : Quatre virgule neuf fois un virgule cinq plus neuf virgule huit. P : Oui, alors qu'est ce qu'il suffit de faire pour passer de là à là ? E : Distribuer. P : Oui, on développe. On va vérifier, hein, on peut lui demander de développer, c'est menu trois trois et voyez, je ne retape pas je montre l'expression, voilà ! D'accord ?
27	Les élèves font les calculs sur leurs machines, P se promène dans la classe.
28		P : Alors on va faire la même chose avec deux.... Donc, si on veut faire la même chose avec deux, qu'est ce qu'il faut qu'on demande ? E : $d(2)$. P : $d(2)$ ?... On vous dit, hein, il faut refaire les mêmes calculs ; déterminez de la même façon la vitesse instantanée de la balle à l'instant $t$ égal deux.... Alors tout à l'heure on avait trouvé la vitesse instantanée de la balle à l'instant $t$ égal 1, c'était combien la vitesse instantanée de la balle à l'instant $t$ égal un ? E : Neuf, virgule huit.
29		P : Neuf virgule huit, oui ! Donc, maintenant, on voudrait essayer de savoir quelle est la vitesse instantanée de la balle à l'instant $t$ égal deux, donc je suis là, un peu plus bas en dessous quand elle passe à l'instant $t$ égal deux, quelle est sa vitesse ? Alors si on veut faire ça comment il faut qu'on fasse ? E : $d(h+2)$. P : Oui, $dh+2)$ ou $d(2+h)$, moins, tu disais ? E : $d(2)$ sur $h$. P : $d(2)$ sur $h$, très bien !
30	G écrit l'expression sur sa calculatrice. Fait une erreur de parenthésage. Recommence et obtient le même résultat qu'au tableau. Il demande : C'est quoi ce signe, les deux points comme ça ? Il s'agit de l'affichage sur la calculatrice du point de séparation décimale et du point de la multiplication. O lui explique.	P : $\frac{d(2+h)-d(2)}{h}$ ; alors, pareil, on va développer. P : Alors ?
31		P : Avec ce résultat est-ce que vous avez une idée de ce que peut valoir cette vitesse instantanée ? Silence 30 s. Seize, virgule... Non, c'est pas seize, dix neuf virgule six, alors pourquoi dix neuf virgule six, d'après toi ? E : Inaudible P : Oui, c'est à dire ? E : Faudrait donner à $h$ des valeurs de plus en plus petites. P : Voilà ! On se tait. Ça c'est la vitesse entre les instants deux plus $h$ et deux. Si on veut calculer cette valeur instantanée, il faut calculer cette valeur en prenant $h$ de plus en plus ? E : Petit.
32	F1 et F2. F1 a obtenu une erreur (Parenthèse manquante) sur sa calculatrice. Elle montre à F2. F2 compare avec l'écriture sur sa machine, rectifie sur la calculatrice de F1 et lui redonne.	P : Petit ! D'accord ? Donc on va essayer, qu'est ce qui se passe si je prends $h$ égal zéro virgule un, par exemple. Qu'est ce que ça fait ? E : Dix neuf virgule six plus zéro quarante neuf. P : Dix neuf virgule six plus zéro quarante neuf, oui, vous pouvez le calculer, ça !
	P se promène dans la classe. Un élève l'appelle. Après l'explication, l'élève reprend sa calculatrice l'allume et recommence les calculs.	E : Mais Monsieur ? P : Oui. E : On peut pas faire juste avant et juste après deux ? P : Non, on peut très bien... Alors ça, on en parlera plus tard. La vitesse instantanée, il faut deux instants qui sont autour de deux et qui se rapprochent. Tu peux en avoir un fixé et l'autre qui se rapproche ou les deux, un un peu avant un un peu après qui se rapprochent simultanément. Alors ce que tu proposes, ça a un avantage, c'est que ça se rapproche de plus en plus vite. Hein, d'accord ? Mais nous, on a décidé de partir d'un moment et de regarder juste après ce moment là. D'accord ? P : Alors vous avez trouvé combien ça faisait ?
33		P : Alors essayez avec $h$ égal zéro, zéro un.
34		P : Alors combien vous trouvez pour zéro, zéro un ? E : Dix neuf virgule zéro six.
	P fait les manipulations au TBI. Les élèves font en même temps sur leurs calculatrices.	P : Voilà ! Donc vous voyez, il se passe la même chose que la dernière fois, mais au lieu d'être avec neuf virgule huit c'est avec dix neuf virgule six. Donc il semblerait que ce soit ça. Alors la machine est capable de faire ce calcul là. On verra après la signification. On va lui demander une valeur limite. Donc, on ne sait pas encore ce que ça signifie mathématiquement, mais on va pouvoir faire le calcul. Voyez, il y a une instruction limite dans le menu quatre. Donc prenez le menu quatre et euh... on a un gabarit qui est déjà tout près, comme souvent sur cette machine.
35	Observation de la calculatrice de G2. Sur son écran, on peut voir : Le premier calcul est le développement du numérateur de : $$\frac{d(2+h)-2}{h}$$ G2 reprend la suite des explications à ce moment.	P : Alors nous qu'est ce qu'on voudrait ? E : La limite de... P : On voudrait la limite de ça, oui ! Et la limite de ça quand, euh... à quel moment ? E : A l'instant $t$ égal deux. P : A l'instant $t$ égal deux, oui, et alors pour avoir l'instant $t$ égal deux, qu'est ce qu'il faut ? Qu $h$ se rapproche de ? E : Zéro. P : Zéro. Alors c'est ce qu'on va lui dire, on va lui dire... E : Ah oui $h$ tend vers zéros. P : ... la limite quand $h$ se rapproche de zéro, ça on en a pas besoin pour le moment.
	P désigne le gabarit permettant d'indiquer les limites à droites ou à gauche. G2 commence à recopier sur sa calculatrice. G1 a déjà recopié et obtenu le résultat. G2 se penche vers G1 ; il n'a toujours pas de résultat	P : Et puis on va lui dire les limites de ça. Donc on va lui mettre. D'accord. P : Donc, là $h$, là, zéro, et là je vais venir recopier... Voilà ! G1 : OK, ça nous fait, d'accord.
36		P : Voilà ! Et on trouve bien, dix neuf virgule six, d'accord ? E : Pourquoi j'obtiens ça ? P : Parce que on passe en écriture scientifique... C'est bon ? Bon ! Donc, conclusion ! Si je veux la vitesse instantanée à l'instant un, si je veux la vitesse instantanée à l'instant un, on a calculé tout à l'heure, $\frac{d(1+h)-d(1)}{h}$, on a simplifié l'écriture et on a fait en sorte que $h$ se rapproche de zéro. Si on voulait faire la vitesse instantanée à l'instant deux, on a fait $\frac{d(2+h)-d(2)}{h}$ et on a fait tendre $h$ vers zéro. Si je vous demandais maintenant la vitesse instantanée à l'instant trois ? E : Ben on fait la même chose. P : C'est à dire, la même chose ? $\frac{d(3+h)-d(3)}{h}$ et on ferai tendre $h$ vers ? E : Zéro ! P : Zéro, alors je vais essayer de le faire, pour voir ce que ça donne, donc je réédite là et je remplace simplement deux par trois, voilà et je vais développer et simplifier, voilà. Bon, je vais peut-être pas faire tendre $h$ vers zéro, ça va être quoi la vitesse à l'instant trois ?
38		E : Vingt neuf quatre. P : Oui, vingt neuf quatre. Bon, ben on va essayer de généraliser. Je vais faire $t$ égal $a$. Alors si je veux à l'instant $t$ égal $a$ qu'est ce qu'il faut que je fasse ? Hein, je l'ai fait avec deux avec trois, je voudrais avec n'importe quel nombre ! Oui ? Je vais calculer $\frac{d(a+h)-d(a)}{h}$ et une fois que j'aurai calculé ça, on va faire quoi ? E : La limite. P : Oui, on va chercher la limite quand $h$ tend vers ?
39	G1 a sa calculatrice à la main. Il a déjà fait effectué, les calculs et a le résultat de la vitesse en $a$. Quand P confirme le résultat, il pose la calculatrice sur la table. G2 n'a écrit que $(d(a+h)-d(a))/$.	E : Zéro. P : Zéro ! Et bien on va essayer...  Et vous pouvez remarquer que quand je tape mon $a$, il n'est pas gras. Ça veut dire que pour la machine, ça n'a pas de sens, c'est une boîte vide, sans contenu particulier... Bon. Alors, pareil hein, j'ai l'écriture factorisée, c'est d'ailleurs bizarre, elle me met zéro cinq ! J'ai une écriture factorisée... C'est quand même pas la plus simple, hein, l'écriture qu'elle renvoie... Euh... Je vais la développer. Voilà. Alors d'après vous, si je fais tendre $h$ vers zéro, qu'est ce que ça va être la vitesse ? E : Neuf virgule huit $a$. P : oui, neuf virgule huit $a$, hein parce que ça ça va devenir de plus en plus petit, c'est mes fameux zéro, zéro quarante neuf, là, qui se décale, qui se décale, qui se décale, et on va trouver neuf virgule huit $a$. Alors, ça marche bien, hein, tout à l'heure on a trouvé, neuf virgule huit, dix neuf virgule six,...je sais plus le résultat, mais bon ! Ah ben si on l'a dit là : vingt neuf virgule quatre.
40	G2 complète avec le dénominateur, puis utilise les menus pour développer et compléter le calcul.	Allez, on essaye, on va la calculer cette limite. Donc limite quand $h$ tend vers zéro de ça ! Neuf virgule huit $a$ ! D'accord ? Donc j'ai calculé, j'ai calculé pour ma fonction $d$, j'ai calculé deux valeurs, à deux instants donnés, j'ai fait en sorte que ces deux valeurs se rapprochent l'une de l'autre, et j'ai calculé le quotient de l'écart divisé par l'écart des deux valeurs en temps, et j'ai fait tendre $h$ vers zéro. D'accord ? Et j'obtiens comme ça la vitesse instantanée. Donc la vitesse instantanée à l'instant $t$ égal $a$, elle est là !
41		P : La formule, elle est là. Donc ça vous pouvez le noter, avec ça on obtient la vitesse instantanée à l'instant $t$=$a$. D'accord ? C'est bon ?
42	La sonnerie retentit	P : Bon, ben voilà, on en a terminé avec cette activité ! Ah ben, j'allais dire on va passer à l'activité trois mais on fera ça après la récréation.
00	Deuxième heure	P : Bon on reprend avec l'activité trois. Ça va être l'occasion de découvrir un peu plus l'application de géométrie, qu'on a utilisé rapidement pour tracer une fonction, on n'a pas fait grand chose dedans, hein ? Alors, l'application géométrie, comme l'écran est petit, c'est souvent un peu plus difficile à manipuler que les autres applications, mais l'avantage, encore une fois, c'est qu'on l'a dans son cartable, sinon, je l'installerai sur les ordinateurs pour d'autres séances. E : Monsieur, ça on l'enregistre ? P : Alors ça oui, ce que vous pouvez faire,... mais ça ne vous empêche pas d'ouvrir une seconde page à côté pour le moment. Ce que vous pouvez faire, c'est de sauvegarder ça, euh... comme activité un. E : Ça va me servir dans tous les cas.
01	G2 demande à G1 : Je l'ai enregistré moi ? G1 montre le message Non enregistré en haut de l'écran.	P : Donc menu, non c'est même pas ça, c'est doc, et là vous pouvez l'enregistrer sous...
02	G2 : Enregistrer... Comment on fait pour ouvrir...  La boîte de dialogue apparaît. G2 : Ah ! G1 : Y'a une touche doc ! G1 enregistre aussi sous le nom donné par P.	P : Moi, comme j'ai pas sauvegardé, je ne l'ai peut-être pas, Ah si ! Je l'ai ! Donc sous Mathématiques, et vous pouvez lui donner un nom, voilà, Activité 1... D'accord ? P : Donc, après, si vous allez dans la maison et que vous regardez les classeurs, normalement... Oui, voilà elle y est l'activité, voyez ! Bien, alors je retourne dans mon activité, on va donc insérer une nouvelle page, on va prendre Graphique et Géométrie, celle-ci pour les fonctions, avec l'icône de la courbe
03		P : Alors on va essayer de représenter la fonction un peu comme elle est sur votre livre. Alors pour ce faire, on va commencer à tracer la fonction $f(x)=x^2$. Alors qu'est-ce qu'il suffit de faire pour tracer la fonction $f(x)=x^2$ ? E : Écrire $x^2$ ! P : Voilà, on va aller en bas là... E' : Génial ! E : T'es con ! P : ... Et on va, écrire $x^2$ et on valide par entrée. D'accord ? Alors maintenant on va régler la fenêtre, alors, c'est menu quatre.
	G2 fait les actions en même temps que P parle. G1 à G2 : Non, Saisir une valeur. G2 : Et je marque quoi dedans ? Il se retourne. G2 : zéro cinq. Il se penche su la calculatrice de G1 qui est encore dans une page de calcul. G2 montre l'icône sur la machine. G2 : là !	P : Un, voilà. Alors, j'ai essayé, ça va bien si on prend, ici au lieu de dix si on prend un virgule cinq. Donc, moins un cinq, un cinq. On va prendre des graduations qu'on va choisir... P : ... Voilà ! P : ymin, on va prendre moins zéro cinq. P : ymax deux...  et pareil, là avec zéro cinq je crois que ça va bien ! Voilà !
05	G2 a obtenu l'écran souhaité. G1 continue à remplir les zones de la fenêtre de réglage. Hésitation sur les graduations.
05 min 19 s	G1 : Non, non attendez ! G1 se penche vers G2 pour voir comment rentrer les graduations. Il tape sur la touche Esc puis efface ymin. G1 à G2 : C'est quoi la valeur ? Il se penche sur la calculatrice de G2. G2 rectifie la valeur de ymax, rentre la valeurs des graduations sur l'axe des $y$.	P : C'est bon ? P : Alors, maintenant avec ça... Voilà ça ressemble déjà un peu plus à ce que vous avez sur le livre.
06	G1 continue a remplir les valeurs ; il indique 0,5 pour ymax	P : Alors, si on regarde l'activité, on a la fonction $f(x)=x^2$ dans un repère, c'est le cas et on vous dit $A$ c'est le point d'abscisse un, donc c'est le point de la courbe d'abscisse un. Donc ce qu'il faut c'est placer un point sur la courbe dont l'abscisse est un. Alors, le principe, sur le logiciel, c'est que on peut toujours modifier a posteriori la propriété d'un point. Par contre le fait qu'il soit sur la courbe, ça c'est très important, et il faut dire au logiciel que c'est un point de la courbe, que c'est pas par hasard qu'on va cliquer à côté de la courbe ou sur la courbe. Hein, d'accord ? Donc, on va mettre un point sur la courbe, et puis après on lui donnera un pour abscisse et le logiciel, il va se débrouiller et il corrigera le tir.
07	G1 revient sur l'écran graphique, et comme il n'a pas rentré la fonction, l'écran est vide. Il complète $f1(x)=$ par $x^2$ et la courbe se trace. Il rattrape les explications de P, commence à surligner Point d'intersection puis remonte sur Point sur. G1 suit les explications et fait les gestes au fur et à mesure. Il pose sa calculatrice sur la table et enlève son bracelet.	P : Donc, la première chose à faire, c'est de créer un point, donc le menu point c'est le sept. P : Et qu'est ce qu'on va prendre pour option, d'après vous ? E : Point sur. P : Point sur, oui ! Menu sept deux, point sur. Alors, c'est là que c'est plus facile pour moi que pour vous. Il va falloir venir se déplacer avec le pad, là, en cliquant, là voyez, comme ça, il va falloir vous déplacer du point, voilà Graphique, et là, il va falloir faire deux choses, d'abord cliquer pour dire que c'est un point sur le graphique et puis on va cliquer une deuxième fois pour dire où on veut qu'il soit. Hein, le premier clic c'est pour dire qu'on veut qu'il soit sur le graphique. Vous voyez, quand je me suis approché, là, vous avez vu ?
08	La reprend :	P : Quand je m'approche la courbe devient en trait épais et c'est marqué Graphique f1. Quand ça m'affiche ça, je clique ! D'accord ? Et si vous regardez bien, j'ai le point là on voit ses coordonnées, elles sont pas encore écrites complètement, parce que je peux encore le manipuler, parce que je peux encore me déplacer, donc je peux essayer de faire en sorte que ce soit un, est-ce que je peux y arriver ?... Oui, je peux y arriver, voilà ! Non, bon, vous vous l'aurez peut-être... Ah si voilà, je pourrais cliquer là ! Voilà ! Je vais pas le faire, mais vous vous pouvez, si vous y arrivez. Je vais cliquer là. Et là, je fais rien pour le moment. Alors, il s'appelle $A$. On peut le nommer, tout de suite, à condition de rien faire d'autre après avoir cliqué. Donc là, je vais, tout de suite, avant de faire, j'ai cliqué pour montrer où je voulais mettre le point, j'ai tapé la lettre $A$, maintenant.
09	Dialogue inaudible G2 montre l'écran de G1. G2 a placé le point. Avec le pad il déplace le curseur vers ce point ; Point sur apparaît sur l'écran. Il re-déplace le pointeur.	P : Tant qu'à faire, $A$ majuscule, hein ! Voilà ! Ça se voit pas bien, mais il est là, on voit la lettre, il a été superposé. Voilà. Mon point il est nommé, il a ses coordonnées. Bien. Alors, pour certains, vous avez peut-être pile la coordonnée un, moi, ce n'est pas le cas, je l'ai fait exprès, hein ! Bien ! Alors, ce qu'on va faire, c'est faire en sorte pour ceux qui n'ont pas la coordonnée pile un, ce qu'on va faire c'est que on va lui dire qu'on voudrait que ça soit un la coordonnée.
10	Il appuie sur menu, Actions, Réglage de la fenêtre, Zoom avant ; la fenêtre est modifiée ; il tape sur Esc. Il va ensuite sur l'abscisse du point, clique et modifie l'abscisse. G1 : Nickel ! G2 n'a pas réussi. Les coordonnées et le nom du graphique sont superposés.	P :Alors pour ça, il faut venir ici, voilà, et puis, une fois que vous êtes là, avec le pad, ça je peux pas le faire, moi, avec le pad vous cliquez deux fois, comme, comme avec la souris, voilà. D'accord. Je refais, échappement, je me rapproche, quand la machine affiche texte, je clique deux fois ou j'appuie sur tab, c'est pareil, vous voyez la machine me le propose, vous avez vu, là il y a une boîte qui s'est ouverte. Alors, là je peux corriger, enlever la valeur zéro neuf et mettre un à la place.
11		Voilà ! J'ai corrigé, il est correctement où je veux. D'accord ? Ça marche pas ? E : Y'a un texte point sur.
	P manipule en même temps qu'il parle.	P : Ah ! Alors il faut appuyer sur escape parce que vous avez toujours le menu Point. Oui, oui, alors, j'ai oublié ça ! Oui, oui, excusez moi, je refais, là. Tout à l'heure, vous aviez regardez, point sur, vous aviez ça, et quand je viens là, je n'ai pas le petit texte. Parce que je n'ai pas le bon outil. C'est pas un outil qui permet de pointer, c'est un outil qui permet de mettre des points sur, ça ne fait rien d'autre. Donc, en fait, il faut que je relâche cet outil. La j'ai pris un outil qui permet de mettre des points sur des figures, il faut que je relâche cet outil, pour relâcher c'est tout simple, c'est escape. Vous voyez, là mon texte il a été modifié, alors, là il veut pas attrapé le nom il veut attraper l'étiquette, mais bon, c'est pas bien gênant.
12	G1 est dans l'écran de réglage de la fenêtre. Il revient sur l'écran graphique. La courbe a disparu.	P : D'accord, c'est vu ? Bien, ensuite...  Ce qu'on va faire, c'est que ce point là, je voudrais bien qu'il ne bouge plus, parce que on s'est déjà bien embêté pour le mettre là, alors, pour qu'il ne bouge plus, toujours pareil il ne faut pas que vous ayez d'outils, vous venez vers le point, jusqu'à ce que ça mette, là, voilà, d'accord ? D'ailleurs, Inaudible Et là on va faire le contrôle menu.
13	G1 revient dans la ligne de saisie avec le pad et complète par $x^2$. G1 rappuie sur Menu, descend jusqu'à Point et Droites, choisit Point sur, place son point, déplace le curseur sur l'écran. G1 : J'arrive pas à changer d'outil. Il ouvre le menu, parcourt les différents menus, revient sur Action, Pointeur. G1 : Action, pointeur !	P : Contrôle menu, voilà, et ça ouvre un menu contextuel. L'avant dernière option, c'est épingle. Qu'est ce que ça veut dire ? Ça veut dire qu'on va l'épingler, donc il va être bloqué, je ne pourrai plus le déplacer sans faire exprès. Tant que je n'ouvre pas le menu et que j'enlève l'épingle, il est épinglé la, le point, il ne peut plus bouger. Donc là, on va choisir l'option A pour l'épingler. Voilà ! Donc vous devez être tous plus ou moins comme moi. Si on veut être un peu esthétique, quand vous avez étiquette, là ça serait bien de l'attraper, alors pour attraper l'étiquette, voyez la main est ouverte, pour fermer la main et pour attraper un objet vous pouvez tenir ici appuyé,...
14	ça désigne le bouton central du pad.	P : Je crois que c'est une ou deux secondes, et ça se ferme ou alors pour aller plus vite vous faites contrôle et ça. Et quand vous faites ça, ça ferme la main, et vous pouvez déplacer l'étiquette, voyez, pas énormément mais on peut la déplacer pour pas qu'elle soit cachée avec les coordonnées. D'accord ?
14 min 45 s		P : D'accord, c'est bon ? A la limite, je ne sais pas, il faut que je regarde, si je fais contrôle menu...
15	G1 place le point sur la courbe	P : Oui, voilà si les coordonnées vous gênent, voilà, quand vous vous approchez ici, que ça met texte, vous pouvez décidez de cacher les coordonnées du point $A$. Pour les ré-afficher, il suffit de revenir vers le point $A$, contrôle menu, coordonnées et équations, ça ré-affiche les coordonnées. Voilà, d'accord ? Bien ! Alors on va continuer notre... Tout le monde en est à peut près là, c'est bon ?... Maintenant, il faut mettre un deuxième point sur la courbe. E : Inaudible P : Les coordonnées du point A ? Ben, tu t'approches du point $A$ et tu fais contrôle menu... L'esthétique aujourd'hui, c'est pas bien grave, l'essentiel c'est qu'on va manipuler, on va mettre un deuxième point sur la courbe, sur la courbe, n'importe où et qu'on va appeler $M$... Alors, point sur la courbe et je l'appelle $M$. Euh, alors, là je crois, je vais lacher l'outil Point sur, et je vais cacher les coordonnées, ça sert à rien. pour le moment, voilà, alors, j'ai mon point $A$, j'ai mon point $M$. E : Et comment on fait pour plus le cacher ? P : Pour décacher les coordonnées, on revient vers le point, et quand c'est point contrôle menu, et coordonnées et équations. C'est à dire, si c'est un point ça met les coordonnées, si c'est une droite ou une courbe, ça met l'équation.
17		P : D'accord. A la limite on peut aussi cacher ça, si on veut. Ah non ! Voilà, je reviens en arrière, je vous rappelle, quand vous avez fait une mauvaise manipulation, contrôle escape, ça revient en arrière. Hein ? Donc, là, j'ai dû cacher tout, j'ai pas dû cacher que l'étiquette. Cacher,...  l'étiquette... Voilà !
18	G1 fait les manipulations au fur et à mesure. G1 : Point sur $A$,...  point sur $M$. G1 : C'est pas une droite !... Nickel !	P : Alors ! Si on continue qu'est ce qu'on nous dit ? On nous dit : on note M le point d'abscisse 1+$h$, donc il est un petit peu plus loin, d'accord ? C'est un point de la courbe. Et il nous faut la droite $(AM)$. Donc, pareil, dans le même menu, là, toujours le menu... euh, sept. Je vais le faire par là, voilà, il y a en quatre la possibilité de choisir une droite. Voilà, menu sept quatre, et alors là il faut bien faire attention, il faut vraiment cliquer que quand c'est marqué le point $A$. Donc là, on prend le point sur $A$, le point sur $M$, voilà, la droite est tracée.... D'accord ?
19	G1 tient sa calculatrice dans la main, déplace le curseur avec le pad. G1 : J'ai pas fait de Geogebra. Il nettoie l'écran et pose sa calculatrice sur la table.	P : Alors après, n'oubliez pas escape pour relâcher l'outil droite, parce que après on ne peut pas manipuler.... Voilà !... Y'en a qui ont utilisé au collège, cabri ? Es : Oui. P : Oui ! Et qui ont fait du Geogebra en seconde en maths ? E : Non. P : Parce que, en fait, ça, c'est une version aménagée de Cabri pour aller sur la calculatrice. Et qui a été amélioré. Donc vous devez retrouvez des manipulations que vous faisiez.
20	G1 fait les manipulations. Il a saisi le point $M$, et le déplace avec le pad.	P : Bien. Alors, maintenant on va regarder si vos manipulations sont correctes, ce qu'on va faire, le point $M$, puisque, normalement il n'est pas fixé, on va pouvoir le déplacer et comme normalement il est sur la droite, il va se déplacer en restant sur la droite. Donc, comment on fait, et bien on vient là, et il suffit de faire contrôle et le centre du pad pour fermer la main. Et une fois que la main est fermée, et bien vous pouvez déplacer, vous voyez, et normalement, ça doit faire comme ici, c'est à dire que le point $M$ doit pouvoir se déplacer sur la courbe... Voilà ! Il peut même passer de l'autre côté, et j'ai chaque fois la droite $(AM)$ qui est modifiée. Ça marche bien !
21	P circule dans les rangs, regarde les machines. G1 pose sa machine sur la table à côté de son livre :	P : Bien ! E : Faut le mettre à combien le point $M$ ? P : Comme moi, à peu près. Pour le moment, on s'en moque ! Alors, je continue !Silence 18 s On me dit exprimer, première question, exprimer le coefficient de la droite $(AM)$ en fonction de $h$. E : en aparté Ah, là ça va être moins drôle ! P : Alors. On va essayer de le faire.
22	P attend encore 26 s	P : Coefficient directeur de la droite $(AM)$, comment on calcule, chut, allez, on se tait, comment on calcule le coefficient directeur d'une droite ? E : $y_B-y_A$ sur $x_B-x_A$. P : Oui, $y_B-y_A$ sur $x_B-x_A$, si c'est la droite $(AB)$, donc, là, qu'est ce qu'il vaut le coefficient directeur ? Es : Euh, $y_M-y_A$... P : Oui... c'est $y_M-y_A$... sur... E : $x_M-x_A$. P : $x_M-x_A$. D'accord ? Bon ! Tout le monde est d'accord ? Maintenant la question c'est quelles sont les coordonnées du point $M$ et quelles sont les coordonnées du point $A$ ? Hein ? J'ai besoin des coordonnées de $M$ et $A$, $x_M$, $x_A$. Alors ? E répète la définition. P : Oui, mais ce que je veux, c'est pouvoir les remplacer ! Je veux pouvoir faire le calcul, donc il faut que je... E : $A$ c'est un ! P : $A$ c'est un, c'est à dire ? E : Un, un. P : Oui, c'est un... et un. Donc, ça je connais. Et $M$, qu'est ce qu'on sait de $M$ ? E : Il est sur la fonction. P : Il est sur la courbe, mais on sait d'autres choses, relisez l'énoncé. E : Abscisse $x$ c'est un plus $h$. P : Un plus $h$ ! Donc un plus $h$, c'est où ? E : $x$.
24	P est au tableau et note au fur et à mesure des réponses les calculs. G1 écoute. La calculatrice est toujours posée sur la table. Il ne semble pas participer au questionnement.	P : Sur l'abscisse ! Et alors, $y_M$ ? E : $f(1+h)$. P : Oui ! Très bien ! Dis plus fort ! E : $f(1+h)$. P : Et voilà ! Puisque c'est un point de la courbe ! Un point de la courbe, si son abscisse c'est $x$ son ordonnée c'est $f(x)$, donc là, si son abscisse c'est $h$ (sic), son ordonnée c'est $f(1+h)$. Donc là, c'est $f(1+h)$. Maintenant, question : que vaut $f(1+h)$ ? E : $f(x)$. P : Il vaut $f(x)$, c'est à dire ? E : $x^2$. P : Oui, alors, $f(x)$ c'est $x^2$, alors $f(1+h)$ ? E : Inaudible P : Non ! E : $1+h$ au carré. P : Voilà !
25	G1 hoche la tête d'acquiescement,	P : C'est $1+h$ au... carré ! D'accord ? C'est bon pour tout le monde ? Hein, je reprends : le point $A$ on le connait, le point $M$ son abscisse c'est $1+h$ son ordonnée c'est $f(1+h)$. Du coup je connais le coefficient de la droite $(AM)$. Je vais remplacer. $y_M$ on a dit que c'était ? E : $1+h$ au carré. P : $1+h$ au carré, bon $y_A$ c'est un, sur ? E : $1+h-1$. P : Oui, $1+h-1$, d'accord. D'ailleurs, j'aurais peut-être dû mettre avant... Non, c'est bon... Alors qu'est ce qu'on peut faire maintenant ?
26	G1 rallume sa calculatrice et appuie sur le Scratchpad. Il est dans l'application Calculs. Il commence à écrire : $1+h)^2-1/$ se reprend et complète. $1+h)^2-1)/(1+h)-1$ Il rajoute alors les parenthèses : $1+h)^2-1)/((1+h)-1))$. Il supprime alors la dernière parenthèse. La calculatrice rajoute des parenthèses manquantes : $((1+h)^2-1)/((1+h)-1)$ Le résultat s'affiche. G1 : $h+2$... Plus fort Pourquoi $2+h$, Monsieur ? G1 : Ah oui !	E : On va simplifier. P : Oui, alors pour simplifier, alors $1+h$ au carré moins 1 sur $1+h-1$. Ce qui nous donne ? E : On enlève les parenthèses . P : Oui, on va développer, donc $(1+h)^2$ ? E : $2h+h^2$. P : Oui $2h+h^2$ sur $h$, ce qui donne ? E : $2+h$. P : $2+h$... D'accord ? G1 : Pourquoi $2+h$, Monsieur ? P : Alors je retourne la question : pourquoi $2+h$ ? Comment on a fait pour trouver $2+h$ ? E : Ah oui, on a factorisé.
27	G1 :tout bas Se simplifier. G1 : Ben ça j'aurais pas trouvé. P va manipuler la calculatrice sur le TBI. G1 appuie sur la touche Home et se retrouve dans l'écran d'accueil. Il ouvre une page graphique. Retourne sur la page précédente, qui est l'autre page graphique avec la parabole et la sécante, il retourne sur la nouvelle page graphique, puis sur l'autre : G1 : Comment ça marche ? Il rappuie sur Home et ouvre une page Calculs. Il tape Define $f(x)=x^2$	P : Voilà, on a factorisé par $h$ et ça peut...  P : ... se simplifier. D'accord ? Bon ! Alors ça on pouvait le faire, on pouvait le faire, si on retourne sur la page, alors pour retourner sur la page, si on fait contrôle et puis ici, vous devez avoir la page précédente. Voilà ! Alors on peut définir la fonction, donc Define
28	P manipule : 17 s G1 réécrit	P : Donc, on va définir la fonction $f(x)=x^2$, hein ?... Voilà ! P : Et puis on va calculer $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$. Alors, tout à l'heure, O me faisait remarquer que comme moi, vous aviez des problèmes avec les parenthèses, alors, si je veux calculer $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$, il ne faut pas oublier que là, il y a des parenthèses, parce que la machine, elle ne sait pas qu'il y a un grand trait de fraction, donc, il ne faut pas oublier d'ouvrir votre parenthèse avant $f(1+h)$ et de la fermer avant de taper le symbole de division. D'accord ?
29	G1 écrit sur la calculatrice : $f(1+h)-f(1))/h$ et tape entrée ; la machine rajoute la parenthèse manquante et calcule. G1 à G2 : $f(1+h)-f(1)$ sur $h$. G2 : OK ! G1 : Oh, on peut le mettre à la fin, ça gène pas. G1 descend le pointeur jusqu'au message et fait afficher le message	P : Et puis, s'il y avait eu un dénominateur, par exemple $1+h-1$ pensez à ré-ouvrir une parenthèse après le symbole de division, et de la refermer, bon, si vous oubliez d'en fermer une, la machine se débrouille, en général, mais bon, faut y penser. Donc là, on va faire ce calcul. Ah, ben ça y est, j'oublie ma parenthèse... Je sors de ma parenthèse avec les flèches, et divisé par $h$. Je n'ai pas fais remarqué tout à l'heure, parce que ça avait fait... Quand on était avec la fonction $d$, c'était la même chose, vous avez vu là, ce qu'elle a dit la machine, là ? Hein ? Qu'est ce que ça veut dire là ? E : Y'a une valeur interdite.
30	G1 : Zéro. G2 prend la calculatrice de G1. G2 : Non, mais,... G1 se penche sur sa machine ; G2 n'a pas fait le calcul et commence à définir $f$ Interruption du film	P : Oui, et c'est quoi la valeur interdite pour vous ? E : $h$ égal zéro. P : Oui, $h$ égal ? Es : Zéro. P : Zéro ! Là, ou là, voyez, dans les deux cas, il y avait un dénominateur, alors la machine a fait la simplification, comme nous, d'ailleurs, elle a fait la simplification mais elle nous précise bien qu'il y a une valeur interdite, ce dont on s'est pas occupé, nous ! On aurait dû !... Bon, donc c'est bien notre $h+2$. Pas de problèmes. Alors, le pr... Donc, on vient de faire la question petit a, hein ? Lorsque, petit b, lorsque $M$ se rapproche de $A$, c'est à dire, lorsque $h$ tend vers zéro, le coefficient directeur petit a tend vers un réel. Lequel ? Alors, je vous écoute !
31	Après 23 s	E : ça tend vers... P : Oui ? E : Vers deux ! P : Ça tend vers deux ! Oui ! Pourquoi ? Parce que, on vient de dire, ça c'est la pente ! Tout le monde est d'accord ? C'est ce qu'on avait expliqué ici en disant en fait que c'est $f(1+h)$ moins $f(1)$ sur $1+h$ moins un, et ça nous avait donné cette valeur là ! D'accord ? Donc, là, ça, c'est ma pente et on vient de voir que ça fait $2+h$. Donc, si on veut voir ce qui se passe pour ma pente
32	G1 a obtenu la valeur deux comme limite sur sa calculatrice et la tiens à la main.	P : quand $h$ tend vers zéro, ben il faut se poser la question qu'est ce qui se passe pour cette expression quand $h$ se rapproche de zéro. Et quand $h$ se rapproche de zéro, je pense que vous êtes tous d'accord avec moi, cette expression se rapproche de la valeur deux ! Alors, on peut si on a doute, on peut le demander à la machine si elle est d'accord avec nous.... Euh, limite,... quand $h$ tend vers zéro... cette expression dots voilà ! Elle est d'accord avec nous ! Bon ! Qu'est ce que ça veut dire, ça ? Je vais revenir sur mon graphique. Donc, je rappelle pour aller à la page suivante, Contrôle et flèche suivante, ce coup là !
33		P : Qu'est ce que ça veut dire, d'après vous, sur mon graphique, ce que l'on vient de constater ? Qu'est ce que ça veut dire si $h$ tend vers zéro.... Qu'est ce qui va se passer si je fais tendre $h$ vers zéro sur mon graphique. E : $M$ et $A$ ils vont se confondre. P : $M$ et $A$ ils vont se confondre. Dans la mesure où $A$ il n'a pas le droit de bouger, c'est $M$ qui va se rapprocher. Là, on sait que c'est un et là c'est un, et là on sait que c'est $1+h$ et là, $f(1+h)$ et donc, si $h$ se rapproche de zéro, qu'est ce que ça veut dire, ça veut dire que cette valeur, elle va se rapprocher de mon $A$.
34	G1 pose sa calculatrice sur la table et écoute.	P : On va essayer donc voir ce que ça donne. Donc, normalement, ça veut dire que quand $h$ se rapproche de zéro, qu'est ce que ça veut dire que cette quantité, elle se rapproche de deux graphiquement ? On vient de dire, quand $h$ tend vers zéro, cette quantité, elle se rapproche de deux, mais cette quantité, elle représente quoi ? E : Le coefficient directeur. P : Oui, le coefficient directeur...  Ça représente quoi, finalement. E : La pente. P : Oui, la pente de la droite $(AM)$. Ça veut donc dire que si mon point $M$ se rapproche de mon point $A$ la pente va se rapprocher de deux. Alors la machine, elle peut nous donner la pente d'une droite. Alors Menu... Euh, c'est dans menu, c'est dans menu, c'est Mesure, oui, huit.
35	G1 a sa calculatrice en main ; il revient dans la fenêtre graphique. G1 à G2 : C'est où la pente ? G2 lui montre rapidement : C'est là. Il trouve le menu, désigne la droite, place la pente en haut de l'écran, comme sur le TBI, déplace le pointeur jusqu'à $M$,	P : Et, il y a un outil pente, et il suffit bien sûr, vous avez compris de montrer la droite et vous faites un premier clic et vous faites un deuxième clic, vous n'êtes pas obligés de la poser à côté, la pente vous pouvez la mettre là où vous voulez. Voilà. Donc actuellement, j'ai visiblement une pente de zéro dix-huit. Alors à nouveau il faut que j'appuie sur échappement pour relâcher l'outil, voyez j'ai un outil, l'outil mesure, je vais le relâcher parce que je veux manipuler mon point $M$ pour voir si ça marche bien ; donc je viens manipuler ma droite et ma pente, elle bouge bien, ah ! Elle est bien négative, j'ai bien une droite qui est décroissante, tout va bien. Alors on va essayer de se rapprocher, je me rapproche, et regardez, regardez les valeurs de la pente.
36	déplace le point $M$ jusqu'à la position de tangence. Il acquiesce aux propos du professeur. G1 : Ah oui ! Il déplace alors le point $M$ pour le remettre dans la position initiale. Il vient replacer la droite dans la position de tangente.	P : Un quatre vingt douze, treize , j'arrive vers le point $A$, quatre vingt dix huit, quatre vingt dix neuf, ah ! deux, et là visiblement $A$ et $M$ sont confondus, et puis je repasse, et après, ça a dépassé. Et quand je suis autour, vous voyez, deux. Et même quand je suis sur $A$, quand $A$ et $M$ sont confondus, et bien la pente est égale à deux. Mais alors, quand je suis là, c'est quoi, la droite $(AM)$ ? E : La tangente. P : ... D'accord ? Quand $h$ se rapproche de zéro, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente à la courbe. C'est quoi la tangente, et bien c'est la droite qui touche la courbe en un point et qui est celle qui approche le mieux, la courbe. Donc ma pente de la droite se rapproche de deux.
37	G1 : C'est le coefficient directeur, Monsieur ?	P : Donc, voilà, c'est le coefficient directeur de la droite $(AM)$. Donc, qu'est-ce que je peux écrire ? Je peux écrire que si je calcule la pente, on a dit que la pente c'était ça : $\frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$, c'est la pente de ma droite et si je calcule la limite quand $h$ tend vers zéro de cette valeur, qu'est ce que j'ai trouvé, j'ai trouvé deux. Bon ben, regardez !
38		P : Ce que j'avais écrit tout à l'heure avec les distances, et là c'est pareil, avec les distances c'était $a+h$ moins $a$ qu'on calculait, c'est linstant $a+h$ moins l'instant $a$, regardez ce que j'ai fait, calculé avec les distances et ce que j'ai calculé ici. Voyez, je viens de faire exactement le même genre de calcul. J'ai une valeur, je m'écarte de $h$ de cette valeur et je fais tendre $h$ vers zéro. D'accord ? Bon, eh bien, cet objet, là, ... ça s'appelle un nombre dérivé... D'accord ?
39	Les élèves écrivent.	P : Donc, là, on vient de calculer, là, à chaque fois on vient de calculer des nombres dérivés. Et là c'est le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse un. D'accord ? Donc là, ça c'est nombre dérivé de $f$ au point d'abscisse un. Et bien ce nombre dérivé, il a une notation, on l'écrit $f'(1)$. D'accord ? $f'(1)$
40		P : Bien, alors on reviendra sur cette notion de nombre dérivé dans la leçon. D'ailleurs, si j'utilise cette notation, comment je pourrais l'écrire, çà ? Les redoublants, vous vous taisez, s'il vous plait ! Comment est-ce que je pourrais écrire ce nombre dérivé ? Déjà, c'est le nombre dérivé de quelle fonction ? E : $d'(a)$. P : Oui, $d'$, hein, c'est la fonction $d$, donc $d'$ et c'est où, là c'est pour ? E : $a$. P : La valeur $a$. Donc là, ça c'était $d'(a)$. Et $d'(a)$, c'est la vitesse instantanée à l'instant $t=a$. D'accord ?... C'est bon ?
41		P : Et ce sera, oui, on va généraliser ça. Mais ce que je voudrais avant qu'on généralise, c'est qu'on n'a pas terminé notre activité. Mais ce que je voulais, c'est que vous constatiez que dans ces deux activités, et bien l'air de rien on a fait exactement la même chose. On avait un point d'une certaine abscisse, un autre point de cette abscisse plus $h$ et on a fait tendre $h$ vers zéro et on a calculé un quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et on a fait tendre $h$ vers zéro. D'accord ? Bon, ben, quand on fait ça, on obtient donc un nombre dérivé, à condition bien sûr que ça existe, et pour que ça existe, il faut que je puisse calculer $f(a)$, il faut que je puisse calculer $f(a+h)$, donc, que les deux existent, hein que la fonction soit définie pour des valeurs autour de $a$...
42	P montre la fenêtre graphique.	P : et puis il faut que mon $h$, il soit non nul, hein d'accord, il peut se rapprocher de zéro, je ne sais plus qui le disait tout à l'heure, on peut se rapprocher de zéro mais on ne l'atteindra pas. De façon, si on l'atteint, on n'a plus une valeur possible à calculer. E : Est-ce qu'il peut être négatif ? P : Pardon ? E :Et si $h$ est négatif ? P : Si $h$ est négatif, et bien, à ton avis, quand j'étais, euh, d'ailleurs on peut retourner dans le calcul, hein, mais quand j'étais là, si je me mets là, et oui, $h$ il est négatif, c'est deux moins, que j'ai du faire là, puisque je tombe à un. J'ai $1+h$ c'est un quatre vingt douze. Donc $h$, euh, d'accord ? Ah, non, ça c'est ma pente, je dis des bêtises. Il faut que j'ai l'abscisse du point $M$, donc il faut que je ré-affiche, voilà, euh, il faut que je ré-affiche...
43		P : Il faut que je ré-affiche coordonnées,...  Voilà. Là, voilà, il faut que j'enlève mon étiquette, voilà. Ici, voilà, ça c'est $1+h$ et $1+h$ il fait zéro six cent... E : Quatre vingt trois. P : Zéro six cent quatre vingt trois, voilà, donc $h$ il est forcément négatif, d'accord ? Et puis tout à l'heure on pourrait regarde, on pourrait tout à fait faire le calcul avec une valeur de $h$ négative, ça nous pose aucun problème. D'accord, c'est vu ?
44		Alors, mais ça ne répond pas à notre question, c'était quelle est l'équation, je reviens sur le graphique, voilà, quelle est l'équation de ma droite ici, quand je suis, ici, je vais y arriver, superposé, voilà ! Quelle est l'équation de cette droite là ? Alors, comment on va pouvoir faire ?... Qu'est ce que je sais, qu'est ce que j'ai comme information sur cette droite ? E : Inaudible P : Pardon ? E : C'est $y=ax+b$. P : Oui, son équation ça va être de la forme $y=ax+b$ puisque c'est une droite qui n'est pas parallèle à l'axe des abscisses (sic).
45	P note sur le tableau.	P : Donc on peut l'écrire sous forme d'équation réduite $y=ax+b$. Alors comment on va faire pour calculer cette équation ? Oui ? E : On a déjà trouvé le coefficient directeur. P : Voilà ! On connait déjà sa pente. Qu'est ce qu'elle vaut sa pente ? Es : Deux. P : Deux, oui, donc finalement... J'aurais pas dû le mettre là, voilà, on connaît la pente on sait que $a$ égal deux, donc c'est $y=2x+b$. Alors il faudrait une autre information. E : Les coordonnées. P : Les coordonnées ? E : Entre $A$ et $M$, et $A$ c'est un, un.
46		P : Voilà ! Le point $A$, c'est un point de la droite, donc ses coordonnées doivent vérifier l'équation, d'accord ? Donc on peut écrire que l'équation est vraie pour le point $A$. D'accord ? Et donc si on remplace, tu as raison, ça fait deux fois un plus $b$, ce qui fait que $b$ égal... moins un !... D'accord ?... $b$ égal moins un ! Donc l'équation de la droite ça va être $y=$, alors on va voir si ça correspond.
47	G1 bouge sa droite pour l'amener dans la position de tangence. G1 : C'est beau ! G1 fait afficher l'équation de la droite. Il fouille dans les menus.	P : Alors, il faut pas manipuler, vous avez un outil qui s'appelle, euh... Alors, non, je vais pas le faire par les menus, c'est plus simple, voilà, je vais me rapprocher de la droite et quand j'ai écrit droite contrôle menu, et coordonnées et équations. Ça peut s'accéder par les menus, mais je ne me rappelle plus lequel, ceux qui manipulent plus vite que moi vont y arriver, mais en s'approchant de la droite contrôle menu et coordonnées et équations, on l'a d'ailleurs déjà utilisé tout à l'heure pour afficher les coordonnées du point, et bien là, on aura l'équation de la droite, et vous voyez on a bien $2x-1$. D'accord ? Bon ben là, tout à l'heure avec cette histoire de nombre dérivé, j'ai pu calculer une vitesse.
48		P : Et là, qu'est ce que c'est en fait, $y=2x-1$, et là les redoublants se taisent, qu'est ce que je viens d'obtenir ? Ça représente quoi, ça en fait. E : Une équation. P : Alors une équation, oui, mais une équation de quoi ? E : De la droite $(AM)$. P : Mais pas n'importe quand ! C'est pas une équation de n'importe quelle droite $(AM)$, là ! E : Quand les points sont superposés. P : Quand les points sont superposés, donc en fait, on est dans quel cas de situation, du coup, ça représente quoi finalement la droite $(AM)$ ? E : La tangente. P : La tangente ! Donc là, on vient de déterminer l'équation de la ? Es : Tangente.
49		P : Tangente à la courbe d'abscisse un ou au point $A$. Donc vous voyez, ce nombre dérivé, il m'a permis de calculer une vitesse, et là, il vient de me permettre de trouver la pente, et donc du coup, l'équation d'une tangente. Alors on verra qu'il a encore beaucoup d'autres utilités, mais vous voyez déjà que cet outil, il est déjà intéressant, il vient de me permettre de faire deux choses, qu'a priori on n'était pas encore tout à fait capable de faire.... D'accord ? Alors on va généraliser. On l'avait fait au point d'abscisse un. Alors, au lieu de prendre un, j'aimerais bien qu'on prenne $a$.
50		P : Je vais essayer de chercher le nombre dérivé pour n'importe quelle valeur, c'est à dire la pente de la tangente pour n'importe quel point et non pas seulement le point un. Comment je vais pouvoir faire pour savoir ce que ça vaut. Qu'est ce qu'il suffit que je fasse ? E : On reprend les calculs. P : Oui, je reprends les calculs et au lieu de mettre un je mets $a$ ! Et ben, allez ! On va retourner, on les avait fait les calculs.
51	La sonnerie retentit ; G1 retourne dans l'application Calculs, réédite le calcul de la pente de la droite $(AM)$, remplace 1 par $a$, fait effectuer le calculait. G1 : 2$a$ plus $h$ !	P : Ça va être juste. Juste une seconde... P : Voilà, on obtient en effet $2a+h$ et si je fais tendre $a$, euh, si je fais tendre $h$ vers zéro, qu'est ce que je vais obtenir ? E : $2a$ ! P : $2a$, c'est dire que la pente au point d'abscisse $a$, ce sera toujours $2a$. Alors au point d'abscisse trois, par exemple, ce sera ? E : $3a$. P : Ah, non, pas trois $a$ ! E : Six. P : Six ? Oui, $2a$, c'est deux fois trois six ! Au point d'abscisse cinq ? E : Dix. P : Dix, voyez on va être capable de généraliser.