Deuxième partie

Le cours a lieu dans une salle ordinaire (figure ). Le professeur a installé avant l'arrivée des élèves un vidéoprojecteur relié à un ordinateur (figure ). Le dispositif d'observation consiste en un enregistrement vidéo (cf. figure ) de l'introduction de la leçon par le professeur,

Figure: Salle ordinaire

Figure: Dispositif de vidéoprojection

Figure: Dispositif d'observation

Le cours débute par un dialogue entre professeur et élèves concernant une conférence à laquelle les élèves ont assisté. Problème informatique.

P : Bien on va faire la synthèse de ce que vous aviez fait lundi. Vous avez sous les yeux ce que vous aviez fait. Vous avez eu le temps de retravailler dessus, ou pas ? Brouhaha. Non, pas trop ? Bien !

E : Monsieur, nous c'est A qui avait tout.

P : Et A, elle est pas là ? Ben vous auriez pu vous organiser, hein ! Alors, vous ferez en fonction de vos notes, vous avez quand même des notes, je pense ! Bien, est-ce qu'on peut déjà essayer de voir pour la réponse à l'activité deux et aussi l'activité un. Pour les suites, on vous demandait de trouver le sixième nombre. Alors qu'est-ce que vous proposez pour la suite des nombres pour A ?

E : Six !

P : Est-ce que il y en a qui avait autre chose à proposer ? Non ? Il n'y a pas eu de discussion sur la question ? Silence des élèves. Donc, d'après vous, c'était quoi le processus choisi par la personne A ?

E : On rajoute un.

P : On rajoute un.

E : A chaque fois.

P : A chaque fois, c'est à dire ? A chaque fois au nombre précédent, la suite, on rajoute un. Bon, ça aurait pu être n'importe quoi d'autre, hein, a priori, hein ? C'est pas forcément, on rajoute un systématiquement. Silence dans la classe. Alors, pour la suite proposée par B ?

E : Dix huit.

P : Dix huit ! Y'en a qui avait autre chose à proposer ? Non, Il n'y a pas de groupe ou d'élèves dans la classe qui avait autre chose que dix huit à proposer ? Et alors, le processus de calcul, c'était quoi ?

E : C'est la table de trois.

E' : On rajoute trois à la valeur précédente.

P : On rajoute trois à la valeur précédente, oui ; tu dis c'est la table de trois, bon, donc ça veut dire trois fois un, trois fois deux, etc. Oui ! Est-ce qu'il y en a qui ont trouvé une autre façon pour avoir ce résultat ? Silence dans la classe, 3s.. Bon, on verra éventuellement plus tard sur la façon de procéder. Pour la suite proposée par la personne C, qu'est ce que vous proposez comme sixième nombre ?

E : On ajoute trois à chaque fois.

P : Alors, chaque fois on ajoute trois au nombre précédent. Mais, alors, c'est ce qu'on avait fait tout à l'heure ?

E : Mais ça commence à cinq.

P : Ça commence à cinq, c'est à dire ?

E : C'est décalé de deux.

P : C'est décalé de deux. Donc, c'est à dire que, sous entendu dans votre processus, vous venez de me dire deux fois, c'est le précédent plus trois, mais il y a quelque chose qu'il faut prendre en compte aussi, et c'est quoi, au fait ?

E : La valeur au début.

P : Oui, donc ce qu'il y avait au départ ! Parce que, avec le même procédé de calcul, si on part d'un nombre différent, on obtient une suite de nombres, visiblement différente. Alors, encore une fois je repose la question, est-ce qu'il y en a qui ont envisagé autre chose ? Silence, 2s. Non ? Pour la suite, alors j'en étais à C, donc D.

E : Vingt et un.

P : Vingt et un vous proposez ? Alors comment,... Alors, est-ce qu'il y en a qui avait autre chose que vingt et un ? Silence, 3s, même individuellement quand vous avez (inaudible) il n'y avait pas d'autres propositions que vingt et un ? Non ? Alors, comment vous avez procédé pour trouver ce vingt et un ? Silence, 2s. Oui ?

E : En fait on augmente à chaque fois de la valeur précédente plus un.

P : La valeur précédente plus un, ça ferait seize, alors ?

E : L'écart, l'écart entre deux valeurs, en fait.

E' : Oui l'écart Brouhaha.

P : Peut-être, pas tous à la fois, qui est ce qui veut préciser ? Oui !

E : C'est ajouter, au nombre, enfin, la valeur...  Brouhaha

P : Oui... Oui, O.

O : On ajoute la valeur euh... Par exemple entre un et trois on ajoute deux. C'est la valeur qui a, c'est le milieu de l'intervalle en fait, on ajoute euh

P : Oui ! Il regarde la feuille d'énoncé.

O : La précédente, en fait.

E : C'est l'écart !

P : Et c'est toujours le milieu de l'intervalle, à chaque fois ?

O : Non, euh c'est pas ça !

P : Vous avez compris, mais c'est au niveau de la formulation. Oui !

G : Non, mais, on fait celui d'avant, moins celui encore avant, plus un.

P : Alors celui d'avant, moins celui encore avant, plus un. Oui !

E' : Non, c'est l'écart plus un !

P : Oui, mais, tu dis non, mais est-ce que...

E' : Ah si, si si !

P : Est-ce que ça fonctionne, ça ? Silence

E : Ben ouais.

P : Alors, une autre formulation ?

E'' : Ben on a dit que le chiffre, par exemple en position six on rajoute six

P : En position six, on rajoute six, alors, six à quoi ?

E'' : Ben au nombre précédent...

P : Au nombre précédent ! Donc, ça veut dire, on est en sixième position, on prend le précédent plus la position. Donc tu prends en compte la notion de position dans la suite. Sous-entendu, qu'est-ce qu'il va falloir qu'on fasse, alors ?

E'' : Un tableau.

P : Un tableau. Qu'est-ce qu'on va mettre dans ce tableau ?

E'' : Ben la position.

P : Voilà, il y a besoin de repérer les positions, hein, avec cette formulation, hein ? On a besoin de repérer les positions. Alors qu'avec la proposition tout à l'heure de G, on avait besoin de quoi, en fait ?

E : Du précédent.

P : Oui, du précédent. Donc, il y a des cas où on a besoin du précédent et d'autres Mais, c'est pas une obligation puisqu'on avait d'autres propositions, on a besoin de la position. Alors ce que vous aviez du mal à formuler, c'est que on prend l'écart, et à chaque fois on rajoute un à cet écart. Alors c'est ça qui peut être intéressant, d'accord, c'est que vous pouvez le formuler en terme d'écart, d'accord ? Mais dans votre formulation, c'était pas assez clair, il faut être plus rigoureux dans la formulation, d'accord ? Pour la série, alors, je ne sais pas si je l'ai demandé, tout le monde était d'accord pour vingt et un ou il y avait d'autres propositions pour cette suite ? Acquiescement. Non c'est bon ? Pour le E ?

E : Sept cent vingt neuf.

P : Alors, sept cent vingt neuf. Procédé ? Qui veut proposer... C ?

C : Puissance de trois.

P : Puissance de trois, c'est à dire ?

C : Ben trois puissance trois, neuf, neuf puissance trois vingt sept.

P : Neuf puissance trois vingt sept ? Rires O ?

C : non, euh...

O : La première, c'est trois puissance un ça fait trois, la deuxième c'est trois puissance deux ça fait neuf, la troisième c'est trois puissance trois, vingt sept...

P : Alors toi tu dis, on fait trois puissance un pour le premier, trois puissance deux pour le deuxième, c'est à dire qu'en fait, comment on pourrait l'expliquer ?

Brouhaha.

P : Alors on fait trois puissance la position. Est-ce qu'il y en a qui on fait autrement que trois puissance la position ?

E : On fait fois trois.

P : On fait fois trois quoi ?

E : Le chiffre d'avant.

P : Alors c'est pas le chiffre, c'est le nombre, hein ? Alors le nombre d'avant fois trois. Donc, vous voyez, là encore une fois on a deux façons de procéder, hein, soit on travaille en fonction du terme précédent soit on travaille en fonction de la position dans la suite. Tout le monde était d'accord avec sept cent quarante neuf ?

Es : Sept cent vingt neuf.

P : Sept cent vingt neuf, excusez moi, ou il y avait d'autres propositions ? Non. Moi, j'ai envie que ce soit sept cent quarante neuf, après tout ! Ou bien moi, j'ai décidé qu'à partir du cinquième terme on rajoute aussi deux ! (Pas de réaction dans la classe) Bon, ensuite, pour le F ?

E : Treize.

E' : Quatorze.

P : Treize, quatorze, allez, on va faire nos prix !

E'' : Quinze !

P : D'autres propositions ? Tu disais, C ?

C : On peut pas savoir.

P : On peut pas savoir. Alors, ça veut dire quoi, on peut pas savoir ? Brouhaha. Attendez, pas tous à la fois ! Oui ?

E : On n'a pas assez de renseignements !

P : Alors pourquoi, les autres fois, on était, on avait, d'après vous on avait assez d'information ?

E : Elles étaient linéaires.

P : Tu dis, elles étaient...

E : Linéaires.

P : Linéaires.

E' : Là, ch'ais pas au départ y'a deux d'écart, après ça.

E'' : Toujours la même chose.

E''' : Constant.

P : C'est toujours la même chose, c'est constant,...  Oui ?

E'''' : Y'avait une suite logique dans les autres.

P : Et la alors, pourquoi on est sûr qu'il n'y a pas de suite logique ?

E : On n'est pas sûr ! on n'a pas assez de données.

P : Ah ! On n'est pas sûr ! on n'a pas assez de données. P reprend les propositions faites dans la classe on ne peut pas être sûr à cent pour cent. Mais l'assurance des autres, vous êtes vraiment, y'avait qu'une seule solution pour vous, y'avait pas d'autres possibilités dans ce qui était proposé avant. On aurait pas pu décider autrement ?

E : Si.

E' : Toujours.

E'' : Il a raison.

P : Oui ?

E : Inaudible

P : Voilà ! Alors, ce que l'on peut dire c'est que dans les autres il y avait une formulation, une possibilité assez évidente que vous avez retenu, et ça ne veut pas dire qu'il n'y en a pas d'autres, et là il n'y en a pas d'évidente ce qui explique qu'il y a plusieurs possibilités. Alors, si je prends, les différentes réponses, alors je crois c'était quatorze.

E : Treize.

P : Oui, mais il y en avait qui avaient proposé quatorze, alors, dans les premiers. Qui c'est qui avait commencé par proposer quatorze ? Oui ?

E : Entre deux et trois il y a un entre cinq et sept il y a deux, on rajoute trois onze et trois quatorze.

P : Alors tu ne regardes pas l'écart entre trois et cinq... deux et trois après cinq et sept, onze et quatorze, oui, c'est une façon de procéder. Est-ce que tout le monde est d'accord, que ça pourrait être ça éventuellement ?

E : Faudrait savoir au milieu.

P : Au milieu c'est à dire ?

E : Après quatorze.

P : Voilà, après quatorze on met quoi. Mais il n'empêche que pour le sixième, puisque la question c'était de dire le sixième... Mais après, quand il faudra donner le dixième ou, je ne sais plus celui qu'on demandait, le quarantième, je crois, on va avoir peut-être plus de problèmes, mais ça peut s'entendre. Alors après il y avait donc quinze, quels sont les groupes qui proposaient quinze ?

E : Entre deux et trois y'a un. On rajoute un à deux. Après, il y a euh, on rajoute un à celui d'avant.

P : On rajoute ? Alors si je dessine (P se tourne vers le tableau et cherche une craie). La craie, de deux à trois tu dis on rajoute un.

E : Ouais, on multiplie un par deux.

P : Alors on multiplie un par deux. Donc la tu dis on rajoute deux.

E : Oui, et après on rajoute deux, et après on fait deux fois deux et on fait plus quatre

P : Et ça fait plus quatre, pourquoi pas !

Au tableau, P a tracé :

P : Pourquoi pas ! C'est bon ? Alors du coup le suivant, plus trois,

E : Non, plus quatre.

P : Ah, plus quatre, parce que là plus un, bon plus quatre il complète le dessin au tableau. Et après, ça donnerait combien ?

E : Dix neuf.

P : Dix neuf ; d'accord, alors, je ne l'avais pas interprété comme ça. Il réécrit au tableau.

Et après je continuerai comment ?

E : Plus huit, huit fois.

P : Plus huit, huit fois. D'accord ? Ça peut s'entendre aussi ! Donc plus un, une fois, plus deux deux fois, plus quatre, quatre fois, après plus hui, huit fois et ainsi de suite. Brouhaha. On évite les discussions particulières, par contre. S'il y a des choses à dire, c'est à tout le monde, hein, d'accord ?

Bon alors, j'ai fait quoi, quatorze, quinze, qu'est ce qui restait ?

E' : Treize.

P : Treize.

E' : C'est des nombres premiers.

P : C'est des nombres premiers. Alors, c'est quoi les nombres premiers ?

Es : Les nombres qui se divisent par un et eux mêmes.

P : Oui, les nombres qui se divisent par un et eux mêmes ; si bien que le suivant, vous allez proposer quoi ?

E' : Treize.

P : Oui.

Un élève prend la parole, inaudible

P : Oui, mais justement c'est à nous de construire les termes qui suivent. Tout à l'heure il y avait une argumentation, là on en a une. Alors, évidemment, et c'est ce que vous avez dit tout à l'heure, rien ne nous permet de décider qu'il y en a une meilleure qu'une autre, on n'a pas suffisamment d'informations pour décider qu'il y en a une meilleure qu'une autre. Mais, j'ai envie de dire, un peu comme pour les précédents. On aurait pu trouver des règles, telles que vous venez de les fabriquer, qui sont peut-être moins évidentes, qui ne sautent pas aux yeux, mais qui fonctionnent tout aussi bien ! Donc il n'y a rien qui nous dit que même pour les premiers celles qu'on a trouvé, de règles, sont tout à fait valables. D'accord ? Bon, alors du coup, après il fallait aller jusqu'au dixième. Bon, alors, je pense que pour la suite A, il n'y a pas de problèmes, évidemment le dixième, c'était....

E : Dix.

P : Si je pars du principe que la réponse était celle proposée, je répète on pourrait imaginer que ce soit autre chose, hein ? Le quarantième ce serait donc,

E : Quarante.

P : Quarante ; pour la suite B ?

Es : Trente.

P : Alors, comment vous l'avez déterminé ce trente ?... Brouhaha. Pardon ?

E : Trois fois $n$.

P : Ah ! Trois fois $n$, c'est à dire trois fois dix, d'accord ! Trois dix. Et pour le quarantième ?

E : Trois fois quarante.

P : Cent vingt ! Et pour le C alors ?

E : Trente deux.

P : Trente deux, alors comment on fait ?

E : Trois fois dix plus deux.

P : Alors pourquoi trois fois dix plus deux ? Il vient d'où ce deux ?

E : C'est la B plus deux.

P : Alors donc, vous vous êtes repéré par rapport à la suite précédente ? D'accord ! Donc du coup vous avez le quarantième aussi. Alors pour la suite D ?

E : Cinquante cinq.

P : Cinquante cinq ; comment on fait, là ? Plusieurs élèves parlent, inaudible. Alors, je repose ma question autrement, puisque tu dis plus un, plus deux, comment vous avez pu calculer... S'il vous plait ! Comment vous avez pu calculer ce dixième terme de la suite D ?

E : Excel.

P : Exèn ? C'est à dire ?

E : Excel !

P : Ah, Excel ! Vous avez tous utilisé Excel ? J'ai pas vu tous les groupes utiliser Excel, moi.

E' : A la main.

P : A la main, c'est à dire ?

E' : Ben on calcule le sixième puis le septième...

P : Alors, sous entendu, pour avoir le dixième vous avez besoin de connaître, et pour excel c'était pareil, vous avez besoin de connaître la neuvième

E : Et la huitième.

P : Oui, voilà ! Est-ce qu'il y en a qui ont trouvé une méthode autre, que de les calculer l'un après les autres ?

E : On fait un plus deux plus trois plus quatre plus cinq.

P : Alors tu dis on additionne un, deux, trois, quatre, cinq,...

E : Six, sept, huit, neuf, dix, c'est à dire les positions.

P : Donc on pourrait ajouter d'un coup les un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, mais c'est pareil, est-ce qu'on sait ce que ça fait ça ?

E : Après 4s Cinquante cinq.

P : Cent cinquante cinq ?

E : Cinquante cinq !

P : Cinquante cinq. Alors, vous voyez, ça ça pourrait être intéressant, c'est de savoir la somme des nombres de un jusqu'à... $n$. Un, deux, trois, quatre, cinq, jusqu'à dix, ou un, deux, trois, quatre, cinq, jusqu'à quarante, ça pourrait être une question qu'on pourrait se

E : Poser !

P : Poser ! Alors, on se la posera plus tard, justement ! Pour le E ?

E : Cinquante neuf mille quarante neuf.

P : Cinquante neuf mille quarante neuf, oui ! Et alors un virgule deux dix puissance dix neuf, c'est à dire ça fait un nombre très grand ! Donc ça fait une grande valeur. En fait si on l'écrit de façon exacte, trois puissance quarante, le principe, trois à la puissance le rang, enfin, la position du nombre dans la suite. D'accord ? Et puis pour le dernier ? Ça va dépendre de la méthode ! Alors, encore une fois, on va peut-être pas donner tous les résultats, mais encore une fois, est-ce qu'il y en a qui sont capables de donner directement le trentième ou le quarantième nombre ?Silence. Ouais, alors, ceux qui avaient des formules comme celle là (P montre le tableau) ou celle de tout à l'heure, je sais plus, c'était pour quinze, où on avait un procédé de calcul, et bien ceux là, il faut qu'ils fassent comme pour la suite D, il faut avoir le neuvième et puis le huitième et on remonte, hein, d'accord ? Et alors pour ceux qui avaient décidé que c'était les nombres premiers ? Alors, qu'est ce qu'il a fallu faire ?

E : Les lister.

P : Il fallait les lister, oui, et vous avez fait comment pour avoir ces nombres premiers ?

E' : Sur internet !

P : Oui, il a fallu aller les chercher quelque part c'est à dire se poser la question quelle est la liste des nombres premiers. Alors, je vous avais dit, sur votre calculatrice, il y a une instruction qui permet de dire si un nombre est premier. Par contre évidemment, c'est qu'il faut tous les essayer, les uns à la suite des autres. Hein ! Alors, ce qui est intéressant dans vos calculatrices, c'est qu'il y a un moyen de contourner cette difficulté, parce qu'on peut programmer. Alors on verra plus tard qu'avec un petit programme on pourra lui demander le prochain  et la machine va boucler, va chercher le prochain qui sera un nombre premier. Donc ça, on pourra le faire faire à la machine, et non pas les essayer les uns à la suite des autres. Donc on a quand même des outils et ça refait un lien avec la conférence d'hier, on a des outils, et on n'est pas obligé d'aller se lancer dans des recherches et des calculs à la main. Alors, on verra ça, on fera le programme pour chercher les nombres premiers, à supposer que c'était bien cette suite là, mais on n'en sait rien ! Alors maintenant, dans la deuxième partie on vous demandait de généraliser un peu, c'est à dire de trouver le vingtième, non c'était quoi ? Le deux centième

Es : Le soixante dixième.

P : A oui, oui, oui, soixante dixième, deux centième et millième terme de chaque suite. Evidemment suivant le procédé que vous avez choisi, ça peut être plus ou moins difficile. Est-ce que vous avez eu le temps d'y réfléchir, à ça ?

E : Non.

E' : Si, on a inaudible.

P : Non ? Pas tous les groupes ? Et alors, on vous demandait aussi d'essayer d'avoir une représentation graphique, est-ce que vous avez eu le temps d'y réfléchir aussi à ça ?

Es : Non.

P : Non plus ! Bon, et bien ce qu'on va faire c'est qu'on va se remettre en groupe et on va reprendre le travail ; donc vous vous mettez en groupe, vous pouvez déplacer les tables, faites attention au matériel qui est déjà installé, on va se donner, euh, c'est quelle heure là ?

E : Vingt cinq.

P : Vingt cinq, euh, ben ça ira peut-être jusqu'à la fin, on verra.

Les élèves se déplacent ; fin de l'enregistrement de la classe. Enregistrement du même groupe d'élèves. Disposition voir figure

Figure: Disposition des quatre élèves observés

Temps (min.)	Gestes F1, F2, G1, G2	Discours
00	Les élèves ont disposé les feuilles sur la table, F1 et F2 sortent leurs calculatrices	F2 : Alors, pour la inaudible G1 : Pour la D, ils ont dit quoi, pour la D ? F2 : La D ? Ben ça dépendait !
01	F1 s'adresse au groupe voisin (inaudible, mais il s'agit d'un problème de piles concernant sa machine). F2 écoute. G1 prend la feuille d'énoncé. F1 ouvre le compartiment à piles de la machine.	F1 : Ça s'ouvre comme ça, je crois ! F1 : Oh, mais il en faut quatre ! G2 : Oui, il en faut quatre, mais au pire t'en mets deux. F2 : Ouais mais je crois que ça marche pas, la dernière fois j'ai essayé G2 : Si, ça marche. F1 : Monsieur ! Ma calculette elle vient de tomber en panne, vous auriez pas des piles juste pour le contrôle ? F2 : Mais tu m'écoutes, je te dis j'ai mis des neuves, deux neuves, ça marchait pas ! F1 : Je pourrai vous les rendre après, mais... P : Oui, oui
	P enlève les piles de sa machine et les donne	P : J'en ai pas des neuves, mais tiens ! F1 : Merci ! G2 : Avant essaye ! F1 : Non, non ! G2 : Toi, t'es relou !
03	F1 place les piles dans sa calculatrice, l'allume. G1 a sorti sa machine.	G1 : J'ai toute mes piles, euh ! F1 : Nia, nia, nia ! F2 : Bon, bref ! G1 : Ils avaient dit quoi pour calculer ça comme méthode, je ne me rappelle plus. F2 : La F ? G1 : La D ! F2 : Ben faut programmer... Ah ! la D ? Ben, ah mais j'ai pas compris, moi... Il avait dit, il faut faire un plus deux plus trois plus quatre plus cinq.
	G2 s'amuse avec la trousse de F1 ; F1 la replace sur la table Elle range les piles, ferme le capot du compartiment à piles.	G2 : Non, moi j'aime bien ce côté, là. F1 : Bon, c'est bon, ça marche ! Silence, inaudible.
	G1 a les feuilles de compte rendu en main.	F1 : C'est quoi ? G1 : C'est pour voir la formule du D ! F2 : Le D c'était... G2 : Ça peut être ça, hein ? F2 : Non, le D ! G2 : Le D c'est quoi ? Oui, mais on sait tous ce que c'est ! F2 : Pardon ? G2 : On sait tous ce que c'est, mais après, euh... F2 : Faut calculer pour l'avoir. G2 : Calculer, pfouuu ! La méthode, ça sera plus,... pour la millième, ça sera plus, mille, pour obtenir le résultat,...
04	G1 prend sa calculatrice. F1 semble rêveuse, F2 et G2 attendent (20s).
	F1 prend une feuille d'énoncé, rit, lit, bouge les papiers.	F1 : Bon, c'est quoi après ? Six ? 2s Bon ben déjà, ah ! oui ! G1 : Tu fais quoi ? F1 : Mais, eh ! Où c'est qu'on marque la six ?
	F2 et G1 montre la feuille de réponse	F2 : C'est là ! G1 : là ! F2 : Faut qu'on trouve un autre nombre, enfin un autre... Qu'est ce que je raconte ? F1 : Ah oui, c'est là !
05	20s de silence	F1 : Mais D c'est impossible ! G1 : Mais ch'ais pas, il a dit il faut trouver une formule.
	10s de silence	F1 : Mais si, D, je l'avais fait à la calculette. G2 : Ben alors ? G1 : Mais t'étais pas allé jusqu'au soixante dixième ? F1 : Si ! G1 : Sérieux ? F1 : Ah non, quarantième. Si j'avais fait... Ah, ben attends, c'est ma calculette, celle là ? F2 : Non, c'est la mienne.
	G1 montre la calculatrice sur la table.	G1 : C'est là la tienne ! F1 : Merci !
06	30s de silence. G1, F1, F2 travaillent sur leurs calculatrices. G2 semble absent .	G1 : Pis le F, on peut pas... F1 : Si, j'étais allé jusqu'à soixante dix !
	G1 se penche vers F1	F2 : Je suis en train d'y faire. F1 : Mais j'étais allé jusqu'à soixante dix ! F2 : Mais t'avais pas fait la même méthode ! G2 : Faut faire la soixante dixième, la deux centième et la millième ! F1 : C'est genre, tu prenais le truc tu faisais plus un.
07	F1 mime avec ses doigts un passage.	F1 : C'est ça non ? G1 : Ça fait, la formule c'est $u_n+n+1$. F1 : Oui, genre, ça fait un... plus un, deux. Deux plus deux, donc quatre plus trois, sept plus... Ben oui, je l'ai fait ! Pour soixante dix ça fait deux mille quatre cent quinze. G1 : T'es sure ? F1 : Ah, non, ça fait deux mille quatre cent quatre vingt quinze.
	G1 prend la feuille de compte rendu ; il écrit et repose la feuille sur la table	G1 : Deux mille quatre cent vingt ? F1 : Deux mille quatre cent quatre vingt quinze. G1 : Pis les nombres premiers, ben pfff !
	F1 s'adresse à F2 qui travaille sur sa calculatrice.	F1 : Ben t'es allée super vite ! F2 : Ben, ça va. G1 : Et t'as été jusqu'à mille ? F1 : Mais tu peux pas allé... Par exemple, jusqu'à seize, tu fais un plus un ...
08	F1 effectue les calculs dans l'application Calculs	F1 : Plus deux plus trois. F2 : Faut continuer après... F1 : Plus sept, plus... F2 : Tu fais comment ?
	P passe près de la table.	G1 : Monsieur, pour la distance dans le livre ils mettent $x_B-x_A$ et vous c'est $x_A-x_B$ ? P : Oui, mais pour la distance, c'est au carré, donc ça change absolument rien. G1 : Ah oui, ah oui ! Merci ! G2 : C'est tout con ! G1 : C'est vrai. Touche pas ma calculette ! F2 : Il parlait de quoi ? Tu parlais de quoi G1 ? G1 : Non, pour faire la distance de A B, tu fais racine de $x_A-x_B$ au carré plus... Mais comme c'est au carré, tu t'en fous que ce soit $x_A$ ou $x_B$ avant. F2 : Je crois que c'est $x_B-x_A$... G1 : Non ! Soit c'est racine de $x_A-x_B$ au carré plus $y_A-y_B$, ou t'inverse le B et le A, c'est pareil. Vu que c'est au carré ! Si, mais il a dit, comme c'est au carré, c'est pareil. F1 : Ah bon !
	F2 effectue des calculs sur sa machine. F1 prend aussi sa machine. G2 calcule avec la calculatrice de G1 ; 30s.	G2 : Ah c'est magique ! C'est magique.
09	G1 reprend la feuille d'énoncé et lit.	G1 : Avec la calculatrice, essayez de...
	Double dialogue s'engage : G1 et G2 parlent de statistiques et calculatrices, F1 et F2 parlent des suites : voir ci-dessous.	G2 : T'as fait le tableau pour avoir tous les quartiles, euh, la médiane... G1 : Tu vas dans le tableur, tu mets toutes tes valeurs, et fiou, fiou, fiou... G2 : Non, mais tu fais direct. G1 : C'est quoi direct ? G2 : Ben tu mets tout, t'as plus qu'à remplir... G1 : De toutes façons, ben tu mets tes valeurs. G2 : Oui, mais bon, après faut que... inaudible. G1 : Oui, mais c'est rapide, tu fais ça, ça, tu mets le nombre de listes.
		F2 : Ch'ais pas comment tu peux faire pour arriver à mille. Là, j'en suis déjà à cent. F1 : Jusqu'à mille, oui mais on s'en fout. Faut trouver un moyen de calcul rapide F2 : Oui, mais j'en ai pas.
	G1 se penche sur la calculatrice de F2.	G1 : Oh la la ! F1 : Mais, faut pas faire ça ! F2 : C'est pas grave !
10	G1 et G2 parlent ensembles. F2 continue à calculer les termes de la suite. F1 regarde.	G1 : Il faut faire une représentation. F1 : Mais c'est pas comme ça qu'il fallait faire ! Un plus un égal plus deux égal plus trois égal. F2 : Oui, mais c'est pareil ! C'est même plus facile. F1 : Ah oui, d'accord. G2 : Ben ça fait... une fonction affine, une droite. G1 : T'as pas un crayon à papier ?
11	G1 fouille dans la trousse de F2. F1 donne un crayon. F2 reprend sa trousse et range ses crayons (30s)	F2 : Tu fais quoi, G2 ? G2 : Quoi ? F2 : Tu fais quoi avec ton portable ? G2 : Oh ! Ça va ! F2 : Ben, ch'ais pas, tu fais rien depuis tout à l'heure. G2 : Oui, mais presque plus de piles, je les garde pour le DS F2 : Ouais, mais, tu peux chercher avec nous, quand même ! G2 : Je cherche, mais voilà ! F2 : Ouais mais tu calcules avec ton portable ?
12	G2 prend la calculatrice de G1.	G2 : Ben voilà, ça va aller mieux, là ; j'en fais des calculs ! G1 : Faut aller dans le tableur. G2 : Ben, j'y suis déjà !
	F1 est la seule à utiliser sa calculatrice. 15s.	F1 : Comment on fait ?
	F1, F2 et G1 calculent en silence. 30s.
13		G1 : Je comprends rien. G2 : Fais voir ! G1 : Par les formules. G2 : Non faut faire euh ! F1 : Je sais pas comment il faut faire... Comment tu fais pour faire un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze... quinze, seize, dix sept, dix huit. G1 : Ch'ais pas ! Moi j'ai mis A1+1, mais, j'ai pas mis au bon endroit.
	Silence, 5s ; G2 travaille sur la calculatrice de G1	G2 : Ben voilà ! Ça c'est la suite graphique. G1 : Oui, mais si tu fais ça tu fais, les suites, elles vont avoir une droite. G2 : Ah, non mais là c'est fait exprès, pour la une c'est un, deux, trois, quatre, cinq, six.
14		G1 : Elle aussi, ça va être ça. Par exemple, là, t'a un... G2 : Non, mais non parce que ça c'est les ordonnées, et les positions c'est les abscisses. G1 : Ah oui, tu fais comme ça ; alors attends ! G2 : Par exemple, pour la B ça va faire...
	Il mime sur la table, dessine sur une feuille. F1 et F2 discutent avec le groupe voisin. G2 représente la suite sur sa calculatrice et la montre à G1.	G1 : Ben ça va faire une droite, mais beaucoup plus,... comme ça ! G2 : Voilà ! Et pis après, euh... G1 : C'est la même chose, sauf que là, tu pars de trois cette fois, tu pars de deux.
15	Il dessine sur une feuille.	G2 : Quoi ? G1 : C ça part pas de zéro, ça part de deux. G2 : Comment on fait, alors, ça ? C'est pas $2x$ plus machin. F1 : Je comprends pas, j'arrive pas à trouver pour D.
	F1 lève la tête et regarde les dessins de G1 La cloche sonne.	F1 : Tu fais quoi ? G1 : C'est la représentation graphique. P : Alors, vous m'écoutez ? Il faudrait que chaque groupe fasse les représentations graphiques et une formule qu'on pourrait mettre dans la machine et on en reparle lundi ! F2 : Ben, on n'a pas avancé.
	Fin de l'observation.

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