Observation 15 janvier 2009 : deuxième et troisième heures de la matinée

Salle de cours ordinaire.

Les feuilles d'énoncé sont distribuées. Les élèves sortent leurs calculatrices. Un rétroprojecteur et la tablette de rétroprojection sont présentes dans la classe. Le professeur présente le travail à faire. Il s'agit d'une séance de travaux dirigés. Les exercices sont à chercher dans l'ordre de la feuille distribuée.

Ci-dessous est reporté un extrait de la séance, commençant après les consignes données par le professeur et s'attachant à la résolution d'un exercice de calcul sur les nombres complexes. Le temps est minuté à partir de 0.

Temps 0

1

P : Bon, alors, là, j'aimerais que vous vous rappeliez ce qu'on a fait dans l'exercice sept. Une transformation dans l'énoncé, j'aimerais bien que vous trouviez la même astuce.

2

E : Exercice sept ?

3

P : L'exercice sept, on l'avait fait mardi, hein ?

4

P : Donc, regardez un peu dans l'exercice sept ce qu'on avait fait ...  vous aviez $1+e^{i\theta}$ et on vous disait : Ah on va transformer ça sous la forme

$$2\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$$

Alors essayez de me trouver un énoncé analogue, pour voir ...  si on pourrait pas transformer ça sous forme d'un produit de quelque chose par une exponentielle sympathique ... 

Mais ça vous avez fait le calcul ; je parle à ceux qui ont fini de faire le petit calcul au départ, hein ...  Ça y est, tout le monde a fait le calcul de $1+e^{-i\theta} \times (1-e^{-i\theta})$.

Le professeur écrit au tableau le calcul Chuut

5

E : Madame, ici, comment on fait, ça, on fait passer le $i$ ici ? Comment on fait ?

6

P : Ah ! Est-ce qu'il y a des trucs, genre ... 

7

E : Plus pi.

8

P : Voilà, plus $\pi$ sur deux, moins $\pi$ sur deux, des trucs comme ça, quoi...  Le professeur s'éloigne

Temps : 2 minutes

9

P à tous : Bon, vous me dictez là, qu'est ce que vous avez trouvé ? C'est quoi ça elle montre au tableau ? C'est ? $(a+b) \times$ ...  $(a+b) \times$ ...  $(a-b)$, donc ça fait quoi ? Donc ça fait $a^2-b^2$ elle écrit au tableau moins exponentielle ...  voilà, donc finalement ça fait quoi ? Ça fait, oui ? $1-e^{-2i\theta}$, hein ! Bon alors, maintenant, essayez de trouver un énoncé un petit peu analogue à celui de l'exercice sept. ...  Dans l'exercice sept, c'était pas un moins ... , c'était un plus ...  un angle, et voyons voir, c'était ... 

10

E : Y'avait pas le deux.

11

P : Voilà, y'avait pas le deux, mais ça fait rien, c'était, on divisera par deux, de toutes façons, on arrivera, et en fait, on partait de un plus quelque chose en $\theta$, en fait, qu'est ce qui apparaissait après ? du ?

Temps : 3 minutes

12

E : $\theta$ sur deux

13

P : $\theta$ sur deux, oui ...  alors, étant donné que l'angle c'est $2\theta$, donc ça va être plutôt du...  $\theta$ ou du $-\theta$, oui, et comment ça va réapparaître ? Qu'est ce qu'il faut faire, en fait ? le professeur attend les réponses des élèves en parcourant la salle

14

P : Chuuut ... 

15

P : Ça, c'est pas mal, ça, oui. Et donc on pourrait...  enfin, qu'est ce qu'on pourrait faire, en fait ?

16

E : On met le cosinus

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P : Le cosinus, on le fait apparaître ?

Temps : 4 minutes

18

E : Non, le sinus

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P : Oui, le sinus...  sinus $\theta$, en fait. Oui ?

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E : Deux sinus $\theta$

21

P : Oui, enfin, ou sinus moins $\theta$, je sais pas. Qu'est-ce qu'on pourrait faire, en fait ? On pourrait ...  factoriser par quoi, en fait ?

brouhahas

22

P : Oui ? oui ! Chut ! ...  cosinus, ça ?

23

P : Oui, ben on peut appliquer direc...  on peut développer et appliquer les formules qu'on connait, mais...  vous allez passer à des exponentielles moins $i$ $\theta$. Si on arrive à le factoriser, qu'est ce que ça donnerait, ça ?

un élève donne une réponse inaudible

24

P : Oui, alors justement, alors on explique, alors...  Si je factorise par exponentielle moins $i$ $\theta$ Le professeur écrit au tableau

25

E : Exponentielle $i$ $\theta$.

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P : Qu'est ce que je mets, là après ? Non moins !

27

E : Exponentielle moins $i$ $\theta$.

28

P : Exponentielle moins $i$ $\theta$. J'ajoute les exposants, est-ce que ça fait bien moins deux exponentielle, ...  moins exponentielle moins deux $i$ $\theta$...  Oui Elle écrit au tableau Chuut. Donc exponentielle moins $i$ $\theta$ Chut ! Ça fait quoi ? Oui ...  Alors attends, exponentielle moins $i$ $\theta$ fois exponentielle $i$ $\theta$ moins exponentielle moins $i$ $\theta$. Voilà, et ça, on reconnait quoi ? MO t'as quelque chose à dire ?

29

E : Madame ?

Temps : 6 minutes

30

P : Oui, alors donc exponentielle moins $i$ $\theta$ fois, donc, deux elle écrit au tableau ...  Voilà, alors est-ce qu'on peut arriver à la forme exponentielle, là ?

31

E : Faut mettre e, $i$ et $\pi$ sur deux

32

P : Oui...  Très bien, on va peut être transformer $i$ en quoi ? Chut !

33

E : En e, $i$, $\pi$ sur deux ?

34

E' : Y'a une autre méthode, madame !

35

P : Oui, oui, s'adressant à [ 36] E' Oui, oui, je sais bien, mais celle là est assez élégante.

37

E : e, moins pi sur deux, cosinus $\theta$ brouhaha

38

P : Chuuuut...  Bon, alors est-ce qu'on peut avoir la forme exponentielle, maintenant rapidement ? Déjà $\theta$, qu'est ce qu'on en dit de $\theta$ ? $\theta$ il appartient à quoi ?

39

E : Zéro, pi !

40

P : Zéro, pi ! Bon ! Le professeur écrit au tableau Voilà, donc ensuite, qu'est ce qu'on peut dire, qu'est ce qu'on peut en déduire sur quoi ? Le fait que ça appartient à zéro, pi ... 

41

E : Sinus theta positif.

42

P : Oui, le sinus de $\theta$ est strictement positif

43

E : Positif fois exponentielle.

44

P : Alors, alors est-ce qu'on a sinus $\theta$ fois exponentielle quelque chose ?

45

E : $i$ c'est $i$, $\pi$ sur deux !

Temps : 8 minutes

46

P : Voilà, alors je vous rappelle que $i$ c'est exponentielle $i$ $\pi$ sur deux, donc finalement z1 point z2 ça va être quoi ? Donc, je vais mettre le deux sinus $\theta$ devant, d'accord ? deux sinus $\theta$...  Après je remplace le $i$ par exponentielle $i$ $\pi$ sur deux, hein ?...  Chuuut et puis, il faut que je réécrive quoi ?

47

E : inaudible

48

P : Voilà, allez on conclue, comment on conclue ? Qu'est ce qu'on en fait du produit des exponentielles ? Voilà donc ça fait exponentielle $i$ quoi ?

49

E : $\pi$ sur deux moins $\theta$.

50

P : $\pi$ sur deux moins $\theta$...  Donc, je rappelle que ceci c'est un réel ...  ? Strictement positif ...