Observation : F2 - autre classe

15h50 : F2 a tiré le sujet 011 ci-dessous :

15h50 : F2 lance le logiciel TI-nspireCAS, lit l'énoncé et ouvre une page tableur et commence à  remplir :

Figure 7

Elle ne continue pas à  remplir la cellule C1 mais modifie B1 en 0, puis inscrit en B2 la formule $=1/(2-B1)$ et écrit $n$ dans la case A pour nommer la colonne :

Figure 8

F2 recopie vers le bas jusqu'à  la cellule 12, puis 20, puis 30, puis 40.

Elle écrit dans la cellule A2 : 2 puis A3 : 3, A4 : 4, A5 : 5 ; elle essaye de sélectionner deux cellules successives et essaye à  la mode des tableurs de recopier vers le bas, mais n'arrive pas à  attraper les cellules. Finalement, elle écrit les nombres de 1 à  40 dans la colonne A.

F2 ouvre une page Graphiques & géométrie (en fait, au lieu d'ouvrir une nouvelle page, elle ouvre une nouvelle activité)

Elle tape $f1(x)=1/(2-un)$ ; rien ne se passe à  l'écran.

Elle supprime la feuille, revient au tableur, ouvre une nouvelle activité, Graphes & géométrie, modifie les axes, supprime la feuille, se tourne et appelle le professeur. F2 explique qu'elle ne sait pas représenter la suite graphiquement. Le professeur ne comprend pas. Il demande de tracer un nuage de points, mais F2 lui dit qu'elle n'arrive pas à  le faire. Le professeur lui montre le menu Graphe rapide et s'en va.

F2 clique sur ce menu elle obtient une représentation de la première colonne, la seule qu'elle a nommée ; F2 essaye le menu contextuel ; elle abandonne. Elle visite les menus, mais la représentation graphique n'apparaît pas. F2 rappelle le professeur :

F2 : Ça ne marche pas !

P : Fait un nuage de points

F2 ouvre sa page graphique et montre : j'ai pas les colonnes.

P : Je ne sais pas, ne fais pas le graphique, continue...

Il s'en va.

Elle écrit : la suite semble croissante et semble converger ; on note pour n=40, .

Elle écrit dans la cellule C1 : $=1/(0-1)$, puis dans C2 : $1/(B2-1)$, puis recopie vers le bas jusqu'à  24, puis jusqu'à  40.

Le professeur repasse et demande une propriété de la suite .

F2 ne répond pas mais montre ce qu'elle a écrit.

P : Mais elle a quoi comme caractéristique cette suite ? Elle est ... Elle est b... Elle est bo...

F2 : Bornée.

P : Oui !

F2 retourne sur la page graphique et ne trouve pas les valeurs possibles dans le nuage de points. Elle écrit : Avec l'expression on constate que pour $n=1$ on obtient -1, pour $n=2$ on obtient -2.

P : montre les deux colonnes A et C : à  partir de là  tu peux trouver le résultat.

F2 continue à  écrire : On constate que le résultat de cette expression est egal à  l'opposé du nombre choisi.

16h13

Puis elle efface et écrit : $u_n=\frac{n-1}{n}$

P va consulté ses documents puis revient ;

P : Comment t'as trouvé ça ?

F2 : Ben, en regardant !

P : C'est pas difficile à  démontrer ; comment tu ferais ?

F2 : Récurrence ?

P : Vas-y !

F2 écrit : Prenons $n=2 \rightarrow$ la propriété est fondée. Montrons par récurrence que $u_n=\frac{n-1}{n}$

Elle écrit sur une feuille de brouillon :

$$\begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&\frac{1}{2-u_n} \\ &=& \frac{... ...ac{n-1-2n}{2n-2}\right)\\ &=&\frac{-n+1}{2n-2}\\ \end{array}$$

Elle s'arrête, puis efface les trois dernières lignes et écrit en face de la deuxième ligne :

$$\begin{array}{rcl} u_{n+1} & =& \frac{1}{2-u_n}\\ &&= \frac{1}{2-\frac{n-1}{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right) \end{array}$$

16h22

Elle efface le calcul, puis reprend au crayon à  papier :

$$\begin{array}{rcl} &\rightarrow & \frac{1}{2-u_n} \\ & &\fr... ...}-\frac{n}{-n+1}\\ & &\frac{1}{2}+\frac{n}{n-1}\\ \end{array}$$

Elle réfléchit, puis efface à  nouveau et réécrit :

$$\frac{1}{\frac{n-1}{n}-1}$$

$$\frac{n}{n-1}-1$$

$$\frac{n-(n-1)}{n-1}$$

F2 appelle le professeur : je ne sais pas si je ne me trompe pas ?

P : où est-ce qu'elle est la récurrence ? Je ne la vois pas.

F2 explique oralement en montrant ses calculs : je veux montrer que ...

P : Elle commence où ? C'est bien, mais il faut bien la fonder, la récurrence ...

16h29

Elle tourne la page de sa copie et écrit :

Montrons par récurrence pour tout $n\in N$ que

$$u_n=\frac{n-1}{n}$$

Soit $n=1$, $u_1=0$, $u2=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}$. D'après les résultats en partie 1 la propriété est fondée.

Montrons que pour un entier $n$ quelconque que

$$u_n=\frac{n-1}{n}$$

$$\begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&\frac{(n+1)-1}{n+1}\\ &=&1-\frac{1}{n+1}\\ &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{u_n} \par \end{array}$$

On retrouve le résultat donné en partie A ; $P_{n+1}$ est vrai. D'après le principe de récurrence

Le professeur passe à  côté de F2 : tu t'en sors avec la récurrence ?

F2 : Oui, mais j'ai du me tromper.

P : Reprend l'énoncé et essaye d'avoir une vue globale.

Il prend la feuille d'énoncé et la montre à  F2.

F2 écrit Faux en face de son premier calcul et continue à  écrire :

$u_n=\frac{n-1}{n}$ est vrai et héréditaire pour tout $n\in N$

F2 retourne sur l'ordinateur et ouvre une page graphique, et essaye à  nouveau de faire afficher le nuage de points. Comme précédemment, elle a ouvert une nouvelle activité et les colonnes du tableur ne sont pas accessibles.

Elle ouvre une page de calcul et tape :

$\frac{n+1-1}{n}$ réponse 1

$\frac{n-1}{n}$ réponse $\frac{n-1}{n}$

$\frac{(n+1)-1}{n+1}$ réponse $\frac{n}{n+1}$

F2 revient à  sa copie, gomme le calcul au crayon à  papier puis réécrit :

$1-\frac{1}{n+1}$ $1-(n+1)$

$\frac{1}{2}-\frac{n+1}{2}$

$\frac{1-n+1}{2}=\frac{2-n}{2}$ puis barre ce dernier résultat. Elle gomme ces calculs.

F2 revient à  l'ordinateur et efface toutes les activités ouvertes, sauf le tableur. Elle ouvre cette fois une page Graphiques & géométrie en tant que page. Elle tente de tracer un nuage de points, voit cette fois la variable $n$ disponible, retourne dans le tableur, nomme $un$ la colonne B, revient dans la page graphique et trace le nuage de points. Il est 16h46. Elle appelle le professeur et lui annonce qu'elle a réussi à  tracer le nuage de points.

P : C'est bien

F2 : Et tout à  l'heure alors, pourquoi ça ne marchait pas ?

P : Je ne sais pas ...Il faut rendre la copie.

Fin de la séance.